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Vibraciones mecánicas

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Year:
2012
Edition:
Quinta edición.
Publisher:
Pearson educación México
Language:
spanish
Pages:
750 / 1024
ISBN 10:
6073209525
ISBN 13:
9786073209526
File:
PDF, 64.75 MB
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VIBRACIONES
MECÁNICAS
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VIBRACIONES
MECÁNICAS

VIBRACIONES
MECÁNICAS
QUINTA EDICIÓN

Singiresu S. Rao
University of Miami
TRADUCCIÓN

Rodolfo Navarro Salas
Ingeniero Mecánico
Universidad Nacional Autónoma de México

REVISIÓN TÉCNICA

David Sepúlveda García
Escuela Superior de Ingeniería
Mecánica y Eléctrica
Unidad Profesional Azcapotzalco
Instituto Politécnico Nacional

Ricardo Rodríguez Figueroa
Departamento de Ingeniería Mecatrónica
Instituto Tecnológico de Coacalco

Gabriela del Valle Díaz Muñoz
Departamento de Ciencias Básicas
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Azcapotzalco

RAO, SINGIRESU S.
Vibraciones mecánicas
Quinta edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012
ISBN: 978-607-32-0952-6
Área: Ingeniería
Formato 20 × 25.5 cm

Páginas: 776

Authorized translation from the English language edition entitled Mechanical Vibrations, 5th Edition, by Singiresu S. Rao, published by
Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright © 2011. All rights reserved.
ISBN 9780132128193
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Mechanical Vibrations, 5ª edición, por Singiresu S. Rao, publicada por
Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright © 2011. Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Dirección general:
Dirección de Educación Superior:
Editor:

Laura Koestinger
Mario Contreras
Luis Miguel Cruz Castillo
e-mail: luis.cruz@pearson.com
Bernardino Gutiérrez Hernández
Juan José García Guzmán

Editor de desarrollo:
Supervisor de producción:
Gerencia editorial
Educación Superior Latinoamérica: Marisa de Anta
QUINTA EDICIÓN, 2012

D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500, 5o. piso
Col. Industrial Atoto, C.P. 53519
Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o tra; nsmitirse, por un sistema
de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-0952-6
ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-0953-3
ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0954-0
Impreso en México. Printed in Mexico.

www.pearsoneducacion.net

A Lord Sri Venkateswara

CONTENIDO
Prefacio

1.10

xiii

Reconocimientos

xviii

Lista de símbolos

xviii

CAPÍTULO 1

Fundamentos de vibración
1.1
1.2

1.3
1.4

1.5

1.6
1.7

1.8
1.9

2

Comentarios preliminares
3
Breve historia del estudio de la vibración
4
1.2.1
Orígenes del estudio de la vibración
4
1.2.2
De Galileo a Rayleigh
6
1.2.3
Contribuciones recientes
9
Importancia del estudio de la vibración
10
Conceptos básicos de la vibración
13
1.4.1
Vibración
13
1.4.2
Partes elementales
de sistemas vibratorios
13
1.4.3
Cantidad de grados de libertad
14
1.4.4
Sistemas discretos y continuos
15
Clasificación de la vibración
16
1.5.1
Vibración libre y forzada
16
1.5.2
Vibración no amortiguada
y amortiguada
16
1.5.3
Vibración lineal y no lineal
16
1.5.4
Vibración determinística y aleatoria
16
Procedimiento del análisis de la vibración
17
Elementos de resorte
21
1.7.1
Resortes no lineales
22
1.7.2
Linealización de un resorte no lineal
23
1.7.3
Constante de resorte
de elementos elásticos
25
1.7.4
Combinación de resortes
28
1.7.5
Constante de resorte asociada
con la fuerza de restauración
producida por la gravedad
36
Elementos de masa o inercia
37
1.8.1
Combinación de masas
38
Elementos de amortiguamiento
42
1.9.1
Construcción de amortiguadores
viscosos
43
1.9.2
Linealización de un amortiguador
no lineal
49
1.9.3
Combinación de amortiguadores
49

1.11

1.12
1.13

Movimiento armónico
51
1.10.1
Representación vectorial del movimiento
armónico
52
1.10.2
Representación por medio
de números complejos
del movimiento armónico
53
1.10.3
Álgebra compleja
55
1.10.4
Operaciones con funciones armónicas
55
1.10.5
Definiciones y terminología
58
Análisis armónico
61
1.11.1
Expansión de la serie de Fourier
61
1.11.2
Serie de Fourier compleja
63
1.11.3
Espectro de frecuencia
64
1.11.4
Representaciones en el dominio
del tiempo y la frecuencia
65
1.11.5
Funciones par e impar
65
1.11.6
Expansiones de medio rango
67
1.11.7
Cálculo numérico de coeficientes
68
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
72
Literatura acerca de la vibración
75
Resumen del capítulo
76
Referencias
76
Preguntas de repaso
78
Problemas
81
Proyectos de diseño
111

CAPÍTULO 2

Vibración libre de sistemas
de un solo grado de libertad
2.1
2.2

2.3

114

Introducción
116
Vibración libre de un sistema traslacional
no amortiguado
118
2.2.1
Ecuación de movimiento basada en la segunda
ley del movimiento de Newton
118
2.2.2
Ecuación de movimiento utilizando otros
métodos
120
2.2.3
Ecuación del movimiento de un sistema
de resorte-masa en posición vertical
121
2.2.4
Solución
123
2.2.5
Movimiento armónico
124
Vibración libre de un sistema torsional
no amortiguado
135
2.3.1
Ecuación de movimiento
136
2.3.2
Solución
136

Contenido
2.4
2.5
2.6

2.7

2.8

2.9

2.10
2.11
2.12

Respuesta de sistemas de primer orden
y constante de tiempo
139
Método de la energía de Rayleigh
141
Vibración libre con amortiguamiento viscoso
146
2.6.1
Ecuación de movimiento
146
2.6.2
Solución
147
2.6.3
Decremento logarítmico
152
2.6.4
Energía disipada
en amortiguamiento viscoso
154
2.6.5
Sistemas torsionales
con amortiguamiento viscoso
156
Representación gráfica de raíces características
y soluciones correspondientes
162
2.7.1
Raíces de la ecuación característica
162
2.7.2
Representación gráfica de raíces
y soluciones correspondientes
163
Variaciones de parámetros y representaciones
del lugar geométrico de las raíces
164
2.8.1
Interpretaciones de vn, vd, z y t
en el plano s
164
2.8.2
Lugar geométrico de las raíces
y variaciones de parámetro
167
Vibración libre con amortiguamiento
de Coulomb
173
2.9.1
Ecuación de movimiento
174
2.9.2
Solución
175
2.9.3
Sistemas torsionales
con amortiguamiento de Coulomb
177
Vibración libre con amortiguamiento
histerético
179
Estabilidad de sistemas
185
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
189
Resumen del capítulo
195
Referencias
196
Preguntas de repaso
196
Problemas
201
Proyectos de diseño
237

CAPÍTULO 3

Vibración armónicamente excitada 240
3.1
3.2
3.3

3.4

Introducción
242
Ecuación de movimiento
242
Respuesta de un sistema no amortiguado sometido
a una fuerza armónica
243
3.3.1
Respuesta total
247
3.3.2
Fenómeno de batido
247
Respuesta de un sistema amortiguado sometido
a una fuerza armónica
250
3.4.1
Respuesta total
254
3.4.2
Factor de calidad y ancho de banda
255

3.5
3.6

3.7
3.8
3.9
3.10
3.11

3.12
3.13
3.14

3.15

vii

Respuesta de un sistema amortiguado
sometido a F(t) = F0eiVt
257
Respuesta de un sistema amortiguado
sometido al movimiento armónico de la base
259
3.6.1
Fuerza transmitida
261
3.6.2
Movimiento relativo
262
Respuesta de un sistema amortiguado sometido
a desbalance rotatorio
265
Vibración forzada con amortiguamiento
de Coulomb
269
Vibración forzada con amortiguamiento
de histéresis
273
Movimiento forzado con otros tipos
de amortiguamiento
275
Autoexcitación y análisis de estabilidad
276
3.11.1
Análisis de estabilidad dinámica
276
3.11.2
Inestabilidad dinámica provocada
por el flujo de un fluido
279
Método de la función de transferencia
285
Soluciones obtenidas utilizando transformadas
de Laplace
288
Funciones de transferencia de frecuencia
291
3.14.1
Relación entre la función de transferencia
general T(s) y la función de transferencia
de frecuencia T(iv)
293
3.14.2
Representación de las características
de respuesta de frecuencia
294
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
297
Resumen del capítulo
302
Referencias
302
Preguntas de repaso
303
Problemas
307
Proyectos de diseño
328

CAPÍTULO 4

Vibración en condiciones forzadas 330
4.1
4.2

4.3
4.4
4.5

4.6

Introducción
331
Respuesta bajo una fuerza periódica general
332
4.2.1
Sistemas de primer orden
333
4.2.2
Sistemas de segundo orden
339
Respuesta bajo una fuerza periódica
de forma irregular
345
Respuesta bajo una fuerza no periódica
347
Integral de convolución
347
4.5.1
Respuesta a un impulso
348
4.5.2
Respuesta a una condición forzada
general
351
4.5.3
Respuesta a excitación de la base
352
Espectro de respuesta
359

viii

Contenido

4.7

4.8
4.9

4.10

Espectro de respuesta para excitación
de la base
361
4.6.2
Espectros de respuesta a sismos
365
4.6.3
Diseño bajo un ambiente de choque
368
Transformada de Laplace
371
4.7.1
Respuestas transitoria
y de estado estable
371
4.7.2
Respuesta de sistemas
de primer orden
372
4.7.3
Respuesta de sistemas
de segundo orden
374
4.7.4
Respuesta a una fuerza gradual
379
4.7.5
Análisis de la respuesta escalonada
385
4.7.6
Descripción de una respuesta
transitoria
386
Métodos numéricos
392
4.8.1
Métodos de Runge-Kutta
393
Respuesta a condiciones
forzadas irregulares obtenida
aplicando métodos numéricos
396
Ejemplos resueltos
utilizando MATLAB
400
Resumen del capítulo
403
Referencias
404
Preguntas de repaso
404
Problemas
407
Proyectos de diseño
428

Referencias
481
Preguntas de repaso
Problemas
484
Proyectos de diseño

4.6.1

CAPÍTULO 5

5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12

Introducción
431
Ecuaciones de movimiento
para vibración forzada
435
Análisis de vibración libre de un sistema
no amortiguado
436
Sistema torsional
444
Acoplamiento de coordenadas
y coordenadas principales
449
Análisis de vibración forzada
455
Sistemas semidefinidos
458
Autoexcitación y análisis
de estabilidad
461
Método de la función de transferencia
462
Soluciones obtenidas aplicando
la transformada de Laplace
464
Soluciones obtenidas utilizando funciones
de transferencia de frecuencia
472
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
475
Resumen del capítulo
481

507

CAPÍTULO 6

Sistemas de varios grados de libertad 508
6.1
6.2
6.3
6.4

6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10

Sistemas de dos grados de libertad 430
5.1
5.2

482

6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17

Introducción
510
Modelado de sistemas continuos
como sistemas de varios grados de libertad
510
Uso de la segunda ley de Newton para derivar
ecuaciones de movimiento
511
Coeficientes de influencia
516
6.4.1
Coeficientes de influencia de rigidez
517
6.4.2
Coeficientes de influencia
de flexibilidad
521
6.4.3
Coeficientes de influencia de inercia
525
Expresiones de energía potencial
y cinética en forma matricial
527
Coordenadas generalizadas
y fuerzas generalizadas
529
Uso de las ecuaciones de Lagrange
para derivar ecuaciones de movimiento
530
Ecuaciones de movimiento de sistemas
no amortiguados en forma matricial
534
Problema de valor eigen
535
Solución del problema
de valor eigen
537
6.10.1
Solución de la ecuación
característica (polinomial)
537
6.10.2
Ortogonalidad
de los modos normales
542
6.10.3
Valores eigen repetidos
545
Teorema de expansión
547
Sistemas no restringidos
547
Vibración libre
de sistemas no amortiguados
551
Vibración forzada de sistemas no amortiguados
mediante análisis modal
554
Vibración forzada de sistemas viscosamente
amortiguados
561
Autoexcitación y análisis de estabilidad
566
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
568
Resumen del capítulo
576
Referencias
576
Preguntas de repaso
577
Problemas
581
Proyectos de diseño
601

Contenido
8.6.2

CAPÍTULO 7

Determinación de frecuencias
y modos naturales 602
7.1
7.2
7.3

7.4

7.5

7.6
7.7

7.8

Introducción
603
Fórmula de Dunkerley
604
Método de Rayleigh
606
7.3.1
Propiedades del cociente
de Rayleigh 607
7.3.2
Cálculo de la frecuencia natural
fundamental
609
7.3.3
Frecuencia fundamental de vigas
y flechas
610
Método de Holzer 613
7.4.1
Sistemas torsionales
613
7.4.2
Sistemas de resorte-masa
616
Método de iteración matricial
617
7.5.1
Convergencia a la frecuencia
natural más alta
619
7.5.2
Cálculo de frecuencias naturales
intermedias
619
Método de Jacobi
624
Problema de valor eigen estándar
626
7.7.1
Descomposición de Choleski
627
7.7.2
Otros métodos de solución
629
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
629
Resumen del capítulo
632
Referencias
632
Preguntas de repaso
633
Problemas
636
Proyectos de diseño
643

CAPÍTULO 8

Control de la vibración
8.1
8.2
8.3
8.4

8.5

8.6

ix

644

Introducción
646
Nomógrafo de vibración
y criterios de vibración
646
Reducción de la vibración en la fuente
650
Balanceo de máquinas rotatorias
651
8.4.1
Balanceo en un plano
651
8.4.2
Balanceo en dos planos
654
Remolineo de flechas rotatorias
659
8.5.1
Ecuaciones de movimiento
659
8.5.2
Velocidades críticas
661
8.5.3
Respuesta del sistema
661
8.5.4
Análisis de estabilidad
663
Balanceo de motores reciprocantes
665
8.6.1
Fuerzas desbalanceadas debido
a fluctuaciones en la presión de gas
665

8.7
8.8
8.9
8.10

8.11

8.12

Fuerzas desbalanceadas debido a inercia
de las partes móviles
667
8.6.3
Balanceo de motores reciprocantes
669
Control de vibración
671
Control de frecuencias naturales
671
Introducción al amortiguamiento
672
Aislamiento de la vibración
673
8.10.1
Sistema de aislamiento de vibración
con cimiento rígido
676
8.10.2
Sistema de aislamiento de vibración
con movimiento de la base
685
8.10.3
Sistema de aislamiento de vibración
con cimiento flexible
692
8.10.4
Sistema de aislamiento de vibración
con cimiento parcialmente flexible
693
8.10.5
Aislamiento contra choques
694
8.10.6
Control de vibración activo
698
Absorbedores de vibración
702
8.11.1
Absorbedor de vibración dinámico no
amortiguado
703
8.11.2
Absorbedor de vibración dinámico
amortiguado
708
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
712
Resumen del capítulo
718
Referencias
718
Preguntas de repaso
720
Problemas
722
Proyecto de diseño
735
Respuestas a problemas seleccionados
736
Índice
744

Los capítulos 9 al 12 y apéndices se encuentran
(en español) en el sitio web de este libro.
CAPÍTULO 9

Sistemas continuos
9.1
9.2

9.3

9-1

Introducción
9-3
Vibración transversal de una cuerda o cable
9.2.1
Ecuación de movimiento
9-3
9.2.2
Condiciones iniciales y límite
9-5
9.2.3
Vibración libre de una cuerda uniforme
9.2.4
Vibración libre de una cuerda con dos
extremos fijos
9-6
9.2.5
Solución de la onda viajera
9-10
Vibración longitudinal de una barra o varilla
9.3.1
Ecuación de movimiento
y solución
9-11
9.3.2
Ortogonalidad de funciones normales

9-3

9-6

9-11

9-13

x
9.4
9.5

9.6

9.7
9.8
9.9

Contenido
Vibración torsional de una flecha o varilla
9-18
Vibración lateral de vigas
9-21
9.5.1
Ecuación de movimiento
9-21
9.5.2
Condiciones iniciales
9-23
9.5.3
Vibración libre
9-23
9.5.4
Condiciones límite
9-24
9.5.5
Ortogonalidad de funciones normales
9-26
9.5.6
Vibración forzada
9-29
9.5.7
Efecto de una fuerza axial
9-31
9.5.8
Efectos de inercia rotatoria
y deformación por cortante
9-34
9.5.9
Otros efectos
9-38
Vibración de membranas
9-38
9.6.1
Ecuación de movimiento
9-38
9.6.2
Condiciones iniciales y límite
9-40
Método de Rayleigh
9-41
Método de Rayleigh-Ritz
9-43
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
9-46
Resumen del capítulo
9-48
Referencias
9-49
Preguntas de repaso
9-50
Problemas
9-53
Proyecto de diseño
9-65

10.7.1

10.8

10.9

10.10
CAPÍTULO 10

Medición de vibración y aplicaciones
10.1
10.2

10.3

10.4
10.5

10.6

10.7

10-1

Introducción
10-2
Transductores
10-4
10.2.1
Transductores de resistencia variable
10-4
10.2.2 Transductores piezoeléctricos
10-7
10.2.3 Transductores electrodinámicos
10-8
10.2.4
Transductor de transformador diferencial
variable lineal
10-9
Detectores de vibración
10-10
10.3.1 Vibrómetro
10-11
10.3.2 Acelerómetro
10-13
10.3.3 Velómetro
10-15
10.3.4
Distorsión de fase
10-17
Instrumentos de medición de frecuencia
10-19
Excitadores de vibración
10-21
10.5.1 Excitadores mecánicos
10-21
10.5.2 Agitador electrodinámico
10-22
Análisis de señales
10-24
10.6.1
Analizadores de espectros
10-24
10.6.2 Filtro pasabanda
10-25
10.6.3
Analizadores de ancho de banda
de porcentaje constante y de ancho de banda
constante
10-27
Prueba dinámica de máquinas y estructuras 10-28

Uso de las mediciones operacionales
de deflexión
10-28
10.7.2
Uso de una prueba modal
10-28
Análisis modal experimental 10-29
10.8.1
La idea básica
10-29
10.8.2
Equipo necesario
10-29
10.8.3
Procesamiento de señales digitales
10-31
10.8.4
Análisis de señales aleatorias
10-33
10.8.5
Determinación de datos modales a partir
de picos observados
10-35
10.8.6
Determinación de los datos modales
con la gráfica de Nyquist
10-38
10.8.7
Medición de modos
10-39
Monitoreo y diagnóstico de la condición de una
máquina
10-42
10.9.1
Criterios de severidad de vibración
10-42
10.9.2
Técnicas de mantenimiento
de máquinas
10-42
10.9.3
Técnicas de monitoreo de la condición
de máquinas
10-44
10.9.4
Técnicas de monitoreo de vibración
10-45
10.9.5
Sistemas de instrumentación
10-50
10.9.6
Selección del parámetro de monitoreo
10-50
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
10-51
Resumen del capítulo
10-54
Referencias
10-54
Preguntas de repaso
10-55
Problemas
10-58
Proyectos de diseño
10-64

CAPÍTULO 11

Métodos de integración numérica
en el análisis de vibración 11-1
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6

11.7
11.8

Introducción
11-2
Método de diferencia finita
11-3
Método de diferencia central para sistemas
de un solo grado de libertad
11-4
Método de Runge-Kutta para sistemas
de un solo grado de libertad
11-7
Método de diferencia central para sistemas
de varios grados de libertad
11-8
Método de diferencia finita para sistemas
continuos
11-12
11.6.1
Vibración longitudinal de barras
11-12
11.6.2
Vibración transversal de vigas
11-16
Método de Runge-Kutta para sistemas
de varios grados de libertad
11-20
Método de Houbolt
11-22

Contenido
11.9
11.10
11.11

Método de Wilson
11-25
Método de Newmark
11-28
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
Resumen del capítulo
11-37
Referencias
11-37
Preguntas de repaso
11-38
Problemas
11-40

APÉNDICE A
11-31

Relaciones matemáticas
y propiedades de materiales

A1

APÉNDICE B

Deflexión de vigas y placas

A4

CAPÍTULO 12

Método de los elementos finitos
12.1
12.2
12.3

12.4
12.5
12.6
12.7

12.8

12-1

Introducción
12-2
Ecuaciones de movimiento de un elemento
12-3
Matriz de masa, matriz de rigidez y vector
de fuerza
12-5
12.3.1
Elemento de una barra
12-5
12.3.2 Elemento de torsión
12-7
12.3.3
Elemento de una viga
12-8
Transformación de matrices y vectores
de un elemento
12-11
Ecuaciones de movimiento del sistema completo
de elementos finitos
12-13
Incorporación de condiciones límite
12-15
Matrices de masa consistente
y de masa concentrada
12-24
12.7.1
Matriz de masa concentrada para un elemento
de una barra
12-24
12.7.2
Matriz de masa concentrada para un elemento
de una viga
12-24
12.7.3
Matrices de masa concentrada en comparación
con matrices de masa consistente
12-25
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
12-27
Resumen del capítulo
12-30
Referencias
12-30
Preguntas de repaso
12-31
Problemas
12-33

APÉNDICE C

Matrices

A6

APÉNDICE D

Transformada de Laplace

A13

APÉNDICE E

Unidades

A21

APÉNDICE F

Introducción a MATLAB

A24

Material en inglés en sitio web
CAPÍTULO 13

Nonlinear Vibration

13-1

CAPÍTULO 14

Random Vibration

14-1

xi

PREFACIO
Cambios en esta edición
Este libro presenta el tema de ingeniería de vibraciones a nivel de licenciatura. Las reacciones favorables de profesores y
estudiantes a la cuarta edición me motivaron a preparar esta quinta edición. Conservé el estilo de las ediciones anteriores
en la presentación de la teoría, los aspectos de cálculo y la aplicación de la vibración de la manera más sencilla posible,
con especial énfasis en las técnicas de análisis por computadora. Se ofrecen amplias explicaciones de los fundamentos en
las que se recalca la importancia y la interpretación física que acrecientan las experiencias adquiridas en cursos previos de
mecánica y se utilizan numerosos ejemplos y problemas para ilustrar principios y conceptos.
En esta edición se modificaron algunos temas y se volvieron a escribir otros, se agregaron muchos más y se introdujeron nuevas características. La mayoría de esas adiciones y modificaciones fueron a sugerencia de los usuarios y revisores
del texto. Entre los cambios importantes destacan los siguientes:
1. Al principio de cada capítulo se presenta un esquema y los objetivos de aprendizaje.
2. Al final de cada capítulo se ofrece un resumen de repaso.
3. La presentación de algunos temas se ha modificado para ofrecer una mayor cobertura y mejor claridad. Estos temas
incluyen los componentes básicos de la vibración: elementos de resorte, elementos de amortiguación y elementos
de masa o inercia, así como aislamiento y control activo de la vibración.
4. Muchos temas nuevos se presentan con detalles y ejemplos ilustrativos, entre ellos la respuesta de sistemas de
primer orden y la constante de tiempo; representación gráfica de las raíces y soluciones características; variaciones
de parámetros y la representación del lugar geométrico de las raíces; la estabilidad de los sistemas; el método de
función de transferencia para problemas de vibración forzada; el método de la transformada de Laplace para solucionar problemas de vibración libre y forzada; el método de la función de transferencia de frecuencia; el diagrama
de Bode para sistemas de un solo grado de libertad; la respuesta gradual y la descripción de la respuesta transitoria,
y los impactos elásticos y no elásticos.
5. Se agregaron 128 ejemplos, 160 problemas, 70 preguntas de repaso y 107 ilustraciones.
6. Se eliminaron los ejemplos y problemas basados en los programas C++ y Fortran, que en la edición anterior se
presentaban al final de cada capítulo.

Características sobresalientes del libro
•

Cada tema de este libro es independiente; todos los conceptos se explican perfectamente y las derivaciones se presentan
con todos sus detalles.

•

A lo largo del texto se recalcan los aspectos de cálculo asistidos por computadora. En la última sección de cada capítulo encontrará ejemplos basados en MATLAB, así como varios programas MATLAB de uso general con ejemplos ilustrativos.

•

Algunos temas se presentan de una forma un tanto no convencional; en particular en los capítulos 8, 10 y 11. La mayoría de los libros de texto abordan los puntos de los aisladores, los absorbedores y el balanceo en capítulos diferentes.
Sin embargo, dado que uno de los objetivos principales del estudio de las vibraciones es controlar la respuesta a éstas,
todos los temas relacionados con el control de la vibración se presentan en el capítulo 8. Los instrumentos de medición
de vibración, junto con los excitadores de vibración, el procedimiento de análisis modal experimental y el monitoreo de
la condición de máquinas, están juntos en el capítulo 10 (en el sitio web). Asimismo, todos los métodos de integración
numérica aplicables a sistemas de uno y varios grados de libertad, al igual que los sistemas continuos, se encuentran en
el capítulo 11 (en el sitio web).

xiv

Prefacio

Otras características sobresalientes son las siguientes:
•
•
•
•
•
•

Más de 240 ejemplos ilustrativos para complementar la mayoría de los temas.
Más de 980 preguntas de repaso para que los estudiantes revisen y prueben su comprensión del texto. Estas preguntas son de diferentes tipos: de opción múltiple, con respuestas breves, de verdadero o falso; de correspondencia de
descripciones, y de completar espacios en blanco.
Cada capítulo ofrece un extenso conjunto de problemas (más de 1150 en todo el libro) que resaltan varias aplicaciones del material explicado en el texto. (Las respuestas se proporcionan en el de soluciones para el profesor).
Al final de algunos capítulos se presentan problemas del tipo proyecto de diseño (más de 30 a lo largo del texto),
muchos sin solución única.
Más de 25 programas MATLAB para ayudar a los estudiantes en la implementación numérica de los métodos estudiados en el texto.
Información biográfica (al inicio de cada capítulo y en los apéndices) de alrededor de 20 científicos e ingenieros que
contribuyeron al desarrollo de la teoría de vibraciones.

Los programas MATLAB y las respuestas a los problemas y a las preguntas de repaso que se presentan en el texto se
encuentran disponibles para los profesores en el sitio web de este libro en www.pearsoneducacion.net/rao.
El Manual de soluciones de todos los problemas y sugerencias para diseñar proyectos está disponible para los profesores que adopten este libro como texto en sus cursos. Consulte a su representante de Pearson.

Unidades y notación
En los ejemplos y problemas de este libro hemos utilizado tanto unidades del Sistema Internacional (SI) como del Sistema
Inglés. Después de los Reconocimientos aparece una lista de símbolos junto con las unidades asociadas en estos sistemas. En el Apéndice E se analiza brevemente la aplicación de las unidades SI en el campo de las vibraciones. Hemos utilizado flechas sobre los símbolos para indicar los vectores de columna y paréntesis rectangulares (corchetes) para indicar
las matrices.

Organización del material
Este libro está organizado en 8 capítulos. Adicionalmente en el sitio web encontrará material en español sobre temas avanzados de vibraciones mecánicas (capítulos 9 a 12) y apéndices (también en español), así como un par de capítulos en inglés
(13 y 14). Se asume que el lector tiene conocimientos básicos sobre estática, dinámica, resistencia de materiales y ecuaciones
diferenciales. Aun cuando es deseable un cierto conocimiento de la teoría de matrices y la transformada de Laplace, en los
apéndices C y D (en el sitio web) se hace un repaso general de estos temas.
El capítulo 1 inicia con una breve semblanza de la historia e importancia de las vibraciones, y aborda el modelado de
sistemas prácticos para el análisis de la vibración junto con los diversos pasos implicados. Se describen las partes elementales de un sistema sometido a vibración, como son rigidez, amortiguamiento y masa (inercia). Se presentan los conceptos básicos y la terminología que se utiliza en el análisis de vibraciones. El capítulo 2 aborda la vibración libre de sistemas de un
solo grado de libertad sometidos a traslación y torsión viscosamente amortiguados y no amortiguados. Se analiza, además,
la representación gráfica de las raíces características y las soluciones correspondientes, las variaciones de parámetro y las
representaciones del lugar geométrico de las raíces. Aun cuando el método del lugar geométrico de las raíces se utiliza en
sistemas de control, su uso en la vibración se ilustra en este capítulo. También se considera la respuesta bajo amortiguación
histerética y de Coulomb. En el capítulo 3 se estudian las respuestas amortiguada y no amortiguada de sistemas de un solo
grado de libertad a excitaciones armónicas. Se delinean los conceptos de fuerza y transmisibilidades de desplazamiento y
su aplicación en sistemas prácticos. También se presenta el método de función de transferencia, la solución mediante la
transformada de Laplace de problemas de vibración forzada, la respuesta de frecuencia y el diagrama de Bode.
El capítulo 4 se ocupa de la respuesta de un sistema de un solo grado de libertad bajo una función forzada general. Los
roles de la expansión de la serie de Fourier de una función periódica, la integral de convolución, la transformada de Laplace
y los métodos numéricos se describen con ejemplos ilustrativos. También se analiza la especificación de la respuesta de un

Prefacio

xv

sistema subamortiguado en función de tiempo pico, tiempo de elevación y tiempo de asentamiento. En el capítulo 5 se
considera la vibración libre y forzada de sistemas de dos grados de libertad. Se analiza la vibración autoexcitada y la estabilidad del sistema. El método de la función de transferencia y la solución por medio de la transformada de Laplace también
se presentan con ejemplos ilustrativos. En el capítulo 6 veremos la vibración de sistemas de varios grados de libertad y los
métodos de análisis matriciales que se utilizan para presentar la teoría. En este mismo capítulo se describe el procedimiento
de análisis modal para la solución de problemas de vibración forzada. Los diversos métodos para determinar frecuencias
naturales y formas de modo de sistemas discretos se delinean en el capítulo 7. Los métodos de Dunkerley, Rayleigh, Holzer, Jacobi e iteraciones matriciales se explican aportando ejemplos numéricos. El capítulo 8 aborda los diversos aspectos
de control de vibración, entre ellos los problemas de eliminación, aislamiento y absorción. El nomógrafo de vibración y los
criterios de vibración, los cuales indican los niveles aceptables de vibración, también se presentan aquí. El balanceo de máquinas rotatorias y reciprocantes y la formación de remolinos de flechas se consideran. También se describen las técnicas
de control activas para controlar la respuesta de sistemas vibratorios.
Material en español en el sitio web
Mientras que las ecuaciones de movimiento de sistemas discretos aparecen en la forma de ecuaciones diferenciales ordinarias, las de los sistemas continuos y distribuidos aparecen en la forma de ecuaciones diferenciales parciales. El análisis
de la vibración de sistemas continuos, como cuerdas, barras, flechas, vigas y membranas, se presenta en el capítulo 9. El
método de separación de variables se presenta para la solución de ecuaciones diferenciales parciales asociadas con sistemas
continuos. Los métodos de Rayleigh y Rayleigh-Ritz para encontrar las frecuencias naturales aproximadas también se describen con ejemplos. Los métodos experimentales que se utilizan para medir la respuesta de la vibración se consideran en
el capítulo 10, y se describen técnicas de análisis de señales y el equipo de medición de vibración. También se presentan
técnicas de monitoreo y diagnóstico de la condición de máquinas.
El capítulo 11 presenta varias técnicas de integración numéricas para determinar la respuesta dinámica de sistemas
discretos y continuos. Se analizan e ilustran los métodos de diferencia central, los de Runge-Kutta, Houbolt, Wilson y
Newmark. El análisis de elementos finitos, con aplicaciones que implican elementos unidimensionales, se aborda en el
capítulo 12. Se utilizan elementos de barra, varilla y viga para el análisis estático y dinámico de armaduras, varillas sometidas a torsión y vigas. En este capítulo también se aborda el uso de matrices de masa concentrada y de masa consistente
en el análisis de vibración. Los problemas de vibración no lineal regidos por ecuaciones diferenciales no lineales presentan
fenómenos que no aparecen en los problemas linealizados correspondientes.
Los apéndices A y B se enfocan en las relaciones matemáticas y en la deflexión de vigas y placas. Los fundamentos
de la teoría de matrices, la transformada de Laplace y las unidades SI se tratan en los apéndices C, D y E. Por último, el
apéndice F ofrece una introducción a la programación con MATLAB.
Material en inglés en el sitio web
En el capítulo 13 se proporciona un tratamiento introductorio de vibración no lineal, con un análisis de oscilaciones subarmónicas y superarmónicas, ciclos límite, sistemas con coeficientes dependientes del tiempo y caos. La vibración aleatoria
de sistemas de vibración lineal se considera en el capítulo 14. En este capítulo también se aplican los conceptos de proceso
aleatorio, proceso estacionario, densidad espectral de potencia, así como autocorrelación y procesos de banda ancha y angosta, sin dejar de considerar la respuesta de vibración aleatoria de sistemas de uno y varios grados de libertad.

Temario típico
El libro proporciona opciones flexibles para diferentes tipos de cursos sobre vibración. Los capítulos 1 a 5, el capítulo 8, y
partes del 6, constituyen un curso básico de vibración mecánica. Puede darse diferente énfasis y orientación al curso si se
hace una cobertura adicional de diferentes capítulos como se indica a continuación:
•
•
•

El capítulo 9 para sistemas continuos o distribuidos.
Los capítulos 7 y 11 para soluciones numéricas.
El capítulo 12 para análisis de elementos finitos.

xvi

Prefacio

Qué esperar de este curso
El material que se presenta en el texto ayuda a lograr algunos de los resultados especificados por la
ABET (Accreditation Board for Engineering and Technology):
•

•

•
•
•

•

Capacidad de aplicar el conocimiento de matemáticas, ciencia e ingeniería:
El tema de vibración, tal como se presenta en el libro, aplica conocimientos de matemáticas
(ecuaciones diferenciales, álgebra matricial, métodos vectoriales y números complejos) y ciencia (estática y dinámica) para resolver problemas de vibración de ingeniería.
Capacidad de identificar, formular y resolver problemas de ingeniería:
Numerosos problemas ilustrativos, problemas de práctica y proyectos de diseño ayudan al estudiante a identificar varios tipos de problemas de vibración prácticos y a desarrollar, analizar y
resolver modelos matemáticos para hallar la respuesta e interpretar los resultados.
Capacidad de utilizar las técnicas, habilidades y herramientas modernas necesarias para la práctica de ingeniería.
La última sección de cada capítulo ilustra la aplicación del moderno software, MATLAB, para
la solución de problemas de vibración. Los fundamentos de programación MATLAB se resumen en el apéndice F.
El uso de la moderna técnica de análisis, el método del elemento finito, para la solución de problemas de vibración se aborda en un capítulo aparte (capítulo 12). El método de los elementos
finitos es una técnica de amplio uso en la industria del modelado, análisis y solución de sistemas
vibratorios complejos.
Capacidad de diseñar y realizar experimentos, así como de analizar e interpretar datos:
Los métodos experimentales y el análisis de datos relacionados con la vibración se presentan
en el capítulo 10. También se analiza el equipo que se utiliza en la realización de experimentos
de vibración, y se aborda el análisis de señales e identificación de los parámetros del sistema
a partir de los datos.

RECONOCIMIENTOS
Quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos estudiantes, investigadores y profesores cuyos comentarios me han
ayudado a mejorar el libro. Me siento sumamente agradecido con las siguientes personas por sus comentarios, sugerencias
e ideas:
Ara Arabyan, University of Arizona; Daniel Granger, Polytechnic School of Montreal, Canadá; K.M. Rao, V.R.S.
Engineering College Vijayawada, India; K. S. Shivakumar Aradhya, Gas Turbine Research Establishment, Bangalore,
India; Donald G. Grant, University of Maine; Tom Thornton, Analista de Esfuerzo: Alejandro J. Rivas, Arizona State
University; Qing Guo, University of Washington; James M. Widmann. California Polytechnic State University; G. Q. Cai,
Florida Atlantic University; Richard Alexander, Texas A & M University; C. W. Bert, University of Oklahoma; Raymond
M. Brach, University of Notre Dame; Alfonso Diaz-Jimenez, Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”, Colombia;
George Doyle, University of Dayton; Hamid Hamidzadeh, South Dakota State University; H. N. Hashemi, Northeastern
University; Zhikun Hou, Worchester Polytechnic Institute; J. Richard Houghton, Tennessee Technological University;
Faryar Jabbari, University of California, Irvine; Robert Jeffers, University of Connecticut; Richard Keltie, North Carolina
State University; J. S. Lamancusa, Pennsylvania State University; Harry Law, Clemson University; Robert Leonard, Virginia Polytechnic Institute and State University; James Li, Columbia University; Sameer Madanshetty, Boston University;
Masoud Mojtahed, Purdue University, Calumet; Faissal A. Moslehy, University of Central Florida; M. G. Prasad, Stevens
Institute of Technology; Mohan D. Rao, Michigan Tech; Amir G. Rezaei, California State Polytechnic University; F. P. J.
Rimrott, University of Toronto; Subhash Sinha, Auburn University; Daniel Stutts, University of Missouri-Rolla; Massoud
Tavakoli, Georgia Institute of Technology; Theodore Terry, Lehigh University; David F. Thompson, University of Cincinnati;
Chung Tsui, University of Maryland, College Park; Alexander Vakakis, University of Illinois, Urbana, Champaign; Chuck
Van Karsen, Michigan Technological University; Aleksandra Vinogradov, Montana State University; K. W. Wang, Pennsylvania State University; Gloria J. Wiens, University of Florida, y William Webster, GMI Engineering and Management
Institute.
Quiero dar las gracias a la Universidad de Purdue por permitirme utilizar el Boilermaker Special en el problema 2.104.
Mis sinceras gracias al Dr. Qing Liu por ayudarme a escribir algunos de los programas MATLAB. Por último, deseo darle
las gracias a mi esposa, Kamala, sin cuya paciencia, motivación y apoyo esta edición nunca se hubiera podido terminar.

SINGIRESU S. RAO
srao@miami.edu

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolo
a, a0, a1, a2, Á
aij
[a]
A
A, A0, A1, Á
b, b1, b2, Á
B,! B1, B2, Á
B
c, c'
c, c0, c1, c2, Á
c
cc
ci
cij
[c]
C, C1, C2, C1œ , C2œ
d
D
[D]
e
e
! !
ex, ey
E
E[x]
f
f
f
, f
'
F, Fd
F0

Significado
constantes, longitudes
coeficiente de flexibilidad
matriz de flexibilidad
área
constantes
constantes, longitudes
constantes
peso de balanceo
coeficiente de amortiguación viscosa
constantes
velocidad de onda
constante de amortiguación viscosa crítica
constante de amortiguación del amortiguador i-ésimo
coeficiente de amortiguación
matriz de amortiguación
constantes
diámetro, dimensión
diámetro
matriz dinámica
base de logaritmos naturales
excentricidad
vectores unitarios paralelos a las direcciones x y y
Módulo de Young
valor esperado de x
frecuencia lineal
fuerza por unidad de longitud
impulso unitario
fuerza
amplitud de fuerza F(t)

Sistema inglés

Sistema Internacional

pulg/lb
pulg/lb
pulg2

m/N

Ib
lb-s/pulg

N
N # s/m

pulg/s
lb-s/pulg
lb-s/pulg
lb-s/pulg
lb-s/pulg

m/s
N # s/m
N # s/m
N # s/m
N # s/m

pulg
pulg
s2

m
m
s2

pulg

m

lb/pulg2

Pa

Hz
lb/pulg
lb-s
Ib
Ib

Hz
N/m
N#s
N
N

m/N
m2

Lista de símbolos
Símbolo
Ft, FT
F!t
F
F
',F
g
g(t)
G
h
H1iv2
i
I
[I]
Im ()
j
J
J, J0, J1, J2, Á
k, k'
ki
kt
kij
[k]
l, li
m, m
'
mi
mij
[m]
M
M
Mt, Mt1, Mt2, Á
Mt0
n
n
N
N
p
p(x)
P(x)
P
qj
!
q#
!
q
Qj
r
!
r

Significado
fuerza transmitida
fuerza que actúa en la masa i-ésima
vector de fuerza
impulso
aceleración debida a la gravedad
función de respuesta al impulso
módulo de cortante
constante de amortiguación de histéresis
función de respuesta de frecuencia
1 -1
momento de inercia de área
matriz identidad
parte imaginaria de ()
entero
momento polar de inercia
momento de inercia de masa
constante de resorte
constante de resorte del resorte i-ésimo
constante de resorte torsional
coeficiente de rigidez
matriz de rigidez
longitud
masa
masa i-ésima
coeficiente de masa
matriz de masa
masa
momento de flexión
par de torsión
amplitud de Mt(t)
un entero
número de grados de libertad
fuerza normal
total de escalones de tiempo
presión
función de densidad de probabilidad de x
función de distribución de probabilidad de x
fuerza, tensión
coordenada generalizada j-ésima
vector de desplazamientos generalizados
vector de velocidades generalizadas
fuerza generalizada j-ésima
relación de frecuencia ⫽ v/vn
vector radio

Sistema inglés

Sistema Internacional

Ib
Ib
Ib
lb-s
pulg/s2

N
N
N
N#s
m/s2

lb/pulg2
lb/pulg

N/m2
N/m

pulg4

m4

pulg4
lb-pulg/s2
lb/pulg
lb/pulg
lb-pulg/rad
lb/pulg
lb/pulg
pulg
lb-s2/pulg
lb-s2/pulg
lb-s2/pulg
lb-s2/pulg
lb-s2/pulg
lb-pulg
lb-pulg
lb-pulg

m4
kg # m2
N/m
N/m
N-m/rad
N/m
N/m
m
kg
kg
kg
kg
kg
N#m
N#m
N#m

Ib

N

lb/pulg2

N/m2

Ib

N

pulg

m

xix

xx
Símbolo

Lista de símbolos

Re1 2
R1t2
R
R
R
s
Sa, Sd, Sv
Sx1v2
t
ti
T
T
Ti
Td, Tf
uij
U, Ui
U!
U
[U]
v, v0
V
V
Vi
w, w1, w2, vi
w0
#
w0
wn
W
W
W
Wi
W(x)
x, y, z
x0, x102
# #
x0, x102
xj
xj
#
xj
xh
xp
!
x
!
x# i
!
x$ i
!
xi

Significado
parte real de ( )
función de autocorrelación
resistencia eléctrica
función de disipación de Rayleigh
cociente de Rayleigh
raíz de ecuación, variable de Laplace
aceleración, desplazamiento, espectro de velocidad
espectro de x
tiempo
estación de tiempo i-ésimo
par de torsión
energía cinética
energía cinética de la masa i-ésima
desplazamiento, transmisibilidad de fuerza
un elemento de matriz [U]
desplazamiento axial
energía potencial
peso desbalanceado
matriz triangular superior
velocidad lineal
fuerza cortante
energía potencial
energía potencial del resorte i-ésimo
deflexiones transversales
valor de w cuando t ⫽ 0
#
valor de w cuando t ⫽ 0
modo enésimo de vibración
peso de una masa
energía total
deflexión transversal
valor de W cuando t ⫽ ti
una función de x
coordenadas cartesianas, desplazamientos
valor de x cuando t ⫽ 0
#
valor de x cuando t ⫽ 0
desplazamiento de la masa j-ésima
valor de x cuando t ⫽ tj
#
valor de x cuando t ⫽ tj
parte homogénea de x(t)
parte particular de x(t)
vector de desplazamientos
valor de cuando t ⫽ ti
!
valor de x# cuando t ⫽ ti
!
valor de x cuando t ⫽ ti

Sistema inglés

Sistema Internacional

ohm
lb-pulg/s
1/s2

ohm
N # m/s
1/s2

s
s
lb-pulg
pulg-lb
pulg-lb

s
s
N-m
J
J

pulg
pulg-lb
Ib

m
J
N

pulg/s
Ib
pulg-lb
pulg-lb
pulg
pulg
pulg/s

m/s
N
J
J
m
m
m/s

Ib
pulg-lb
pulg
pulg

N
J
m
m

pulg
pulg
pulg/s
pulg
pulg
pulg/s
pulg
pulg
pulg
pulg
pulg/s
pulg/s2

m
m
m/s
m
m
m/s
m
m
m
m
m/s
m/s2

Lista de símbolos
Símbolo
!
x1i21t2
X
Xj
!
X1i2
1j2
Xi
[X]
!
Xr
y
Y
z
Z
Z1iv2
a
b
b
g
d
d1, d2, Á
dest
dij
¢
¢F
¢x
¢t
¢W
e
e
z
u
ui
u# 0
u0
™
™i
l
[l]
m
m
mx
r
h
sx
s
t

Significado
modo i-ésimo
amplitud de x(t)
amplitud de xj(t)
vector modal i-ésimo
componente i-ésimo de modo j-ésimo
matriz modal
aproximación r-ésima a un modo
desplazamiento de base
amplitud de y(t)
desplazamiento relativo, x – y
amplitud de z(t)
impedancia mecánica
ángulo, constante
ángulo, constante
constante de amortiguamiento de histéresis
peso específico
decremento logarítmico
deflexiones
deflexión estática
delta Kronecker
determinante
incremento de F
incremento de x
incremento del tiempo t
energía disipada en un ciclo
una pequeña cantidad
deformación
relación de amortiguamiento
constante, desplazamiento angular
desplazamiento angular i-ésimo
valor de u cuando t ⫽ 0
valor de u cuando t ⫽ 0
amplitud de u (t)
amplitud de ui(t)
valor eigen ⫽ 1/v2
matriz de transformación
viscosidad de un fluido
coeficiente de fricción
valor esperado de x
densidad de masa
factor de pérdida
desviación estándar de x
esfuerzo
periodo de oscilación, tiempo, constante de tiempo

Sistema inglés

Sistema Internacional

pulg
pulg
pulg
pulg
pulg

m
m
m
m
m

pulg
pulg
pulg
pulg
lb/pulg

m
m
m
m
N/m
m

lb/pulg3

N/m3

pulg
pulg

m
m

Ib
pulg
s
pulg-lb

N
m
s
J

rad
rad
rad/s
rad
rad
s2

rad
rad
rad//s
rad
rad
s2

lb-s/pulg2

kg/m # s

lb-s2/pulg4

kg/m3

lb/pulg2
s

N/m2
s

xxi

xxii

Lista de símbolos

Símbolo

Significado
esfuerzo cortante
ángulo, ángulo de fase
ángulo de fase en el modo i-ésimo
frecuencia de oscilación
frecuencia natural i-ésima
frecuencia natural
frecuencia de vibración amortiguada

t
f
fi
v
vi
vn
vd

Subíndices
Símbolo

cri
eq
i
L
máx
n
R
0
t

Significado
valor crítico
valor equivalente
valor i-ésimo
plano izquierdo
valor máximo
correspondiente a la frecuencia natural
plano derecho
valor específico o de referencia
torsional

Operaciones
Símbolo

Significado

12

d1 2

$
12

dt2

#

dt
d21 2

:
1 2
[]
[ ]-1
T

[]

¢1 2

12

-1

12

vector columna ( )
matriz
inversa de [ ]
transpuesta de [ ]
incremento de ( )
transformada de Laplace de ( )
transformada inversa de Laplace ( )

Sistema inglés
lb/pulg2
rad
rad
rad/s
rad/s
rad/s
rad/s

Sistemas Internacional

N/m2
r ad
r ad
rad/s
rad/s
rad/s
rad/s

VIBRACIONES
MECÁNICAS

CAPÍTULO 1
Fundamentos de vibración

Este astrónomo italiano, filósofo y profesor de matemáticas en las universidades de
Pisa y Padua, fue, en 1609, el primer hombre que apuntó un telescopio hacia el cielo.
En 1590, escribió el primer tratado de dinámica moderna. Sus obras respecto a las
oscilaciones de un péndulo simple y la vibración de las cuerdas son de importancia
fundamental en la teoría de las vibraciones. [Cortesía de Dirk J. Struik, A Concise
History of Mathematics (2a. ed. rev.), Dover Publications, Inc., Nueva York, 1948].

Galileo Galilei
(1564-1642)

Esquema del capítulo
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9

2

Objetivos de aprendizaje 3
Comentarios preliminares 3
Breve historia del estudio de la vibración 4
Importancia del estudio de la vibración 10
Conceptos básicos de la vibración 13
Clasificación de la vibración 16
Procedimiento del análisis de la vibración 17
Elementos de resorte 21
Elementos de masa o inercia 37
Elementos de amortiguamiento 42

1.10
1.11
1.12
1.13

Movimiento armónico 51
Análisis armónico 61
Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 72
Literatura acerca de la vibración 75
Resumen del capítulo 76
Referencias 76
Preguntas de repaso 78
Problemas 81
Proyectos de diseño 111

1.1

Comentarios preliminares

3

Este capítulo presenta el tema de las vibraciones en una forma relativamente sencilla. Empieza
con una breve historia del tema y luego presenta un examen de la importancia de la vibración.
Los conceptos básicos de grados de libertad y de sistemas continuos y discretos se ofrecen junto
con una descripción de las partes elementales de los sistemas vibratorios. Se indican las diversas
clasificaciones de vibración, a saber: vibración libre y forzada; vibración no amortiguada y amortiguada; vibración lineal y no lineal, y vibración determinística y aleatoria. Se delinean y presentan
asimismo las definiciones y los conceptos esenciales de vibración.
Se describe el concepto de movimiento armónico y su representación por medio de vectores y
números complejos. Se aportan las definiciones y terminología básicas como ciclo, amplitud, periodo, frecuencia, ángulo de fase y frecuencia natural, relacionadas con el movimiento armónico. Al
final se describe el análisis armónico, que tiene que ver con la representación de cualquier función
periódica en términos de funciones armónicas, utilizando la serie de Fourier. Asimismo, se analizan en detalle los conceptos de espectro de frecuencia, representaciones en el dominio del tiempo
y frecuencia de funciones periódicas, así como las expansiones de mediano intervalo y el cálculo
numérico de coeficientes de Fourier.

Objetivos de aprendizaje
Al terminar este capítulo, usted deberá ser capaz de realizar lo siguiente:
●
●
●
●
●
●
●
●
●

1.1

Describir brevemente la historia de la vibración.
Indicar la importancia del estudio de la vibración.
Proporcionar varias clasificaciones de la vibración.
Enunciar los pasos implicados en el análisis de la vibración.
Calcular los valores de constantes de resorte, masas y constantes de amortiguamiento.
Definir el movimiento armónico y diferentes posibles representaciones de movimiento armónico.
Sumar y restar movimientos armónicos.
Realizar la expansión de la serie de Fourier de funciones periódicas dadas.
Determinar los coeficientes de Fourier numéricamente, aplicando el programa MATLAB.

Comentarios preliminares
El tema de la vibración se presenta aquí en una forma relativamente sencilla. El capítulo empieza
con una breve historia de la vibración y continúa con un examen de su importancia. Se perfilan los
diversos pasos que intervienen en el análisis de la vibración de un sistema de ingeniería y se presentan
las definiciones y conceptos esenciales de la vibración. Aquí aprendemos que todos los sistemas mecánicos y estructurales se pueden modelar como sistemas de masa-resorte-amortiguador. En algunos
sistemas, como en un automóvil, la masa, el resorte y el amortiguador se pueden identificar como
componentes separados (la masa en la forma del cuerpo, el resorte en la suspensión y el amortiguador
en la forma de los amortiguadores). En algunos casos, la masa, el resorte y el amortiguador no aparecen como componentes distintos, pues son inherentes e integrales al sistema. Por ejemplo, en el ala de
un avión, la masa está distribuida en toda el ala. Incluso, debido a su elasticidad, el ala experimenta
una notable deformación durante el vuelo, de modo que puede modelarse como un resorte. Además, la
deflexión del ala introduce un efecto de amortiguamiento producido por el movimiento relativo entre
componentes como juntas, conexiones y soportes, al igual que la fricción interna producida por defectos microestructurales del material. En el capítulo se describe el modelado de elementos de resorte,

4

Capítulo 1

Fundamentos de vibración
masa y amortiguamiento, sus características y la combinación de varios resortes, masas o elementos
de amortiguamiento que aparecen en un sistema. De allí se deriva una presentación del concepto de
análisis armónico, el cual puede utilizarse para el análisis de movimientos periódicos generales. En
este capítulo no se pretende agotar los temas; los capítulos siguientes desarrollarán con más detalle
muchas de las ideas.

1.2
1.2.1
Orígenes del
estudio de la
vibración

Breve historia del estudio de la vibración
El interés en la vibración surge cuando se crean los primeros instrumentos musicales, probablemente silbatos o tambores. Desde entonces, tanto músicos como filósofos han buscado las reglas y
las leyes de la producción del sonido, las han utilizado para mejorar los instrumentos musicales,
y las han pasado de generación en generación. Ya en el año 4000 a.C. [1.1], la música había alcanzado un alto nivel de desarrollo y era muy apreciada por chinos, hindúes, japoneses y, quizá, los
egipcios. Estos pueblos antiguos observaron ciertas reglas definidas que de alguna manera estaban
relacionadas con el arte de la música, aunque su conocimiento no llegó a nivel de ciencia.
Es probable que los instrumentos musicales de cuerda se hayan originado en el arco del cazador,
arma favorecida por los ejércitos del antiguo Egipto. Uno de los instrumentos de cuerda más primitivos, la nanga, se parece a un arpa de tres o cuatro cuerdas, y cada cuerda produce sólo una nota; en
el Museo Británico se encuentra un ejemplar que data de 1500 años a.C. Ahí mismo se exhibe un
arpa de 11 cuerdas, decorada en oro y con caja de resonancia en forma de cabeza de toro, la cual
se encontró en Ur en una tumba real que data de aproximadamente 2600 años a.C. En los muros
de tumbas egipcias con una antigüedad de 3000 años a.C. se hallaron pinturas de instrumentos de
cuerda semejantes a arpas.
Nuestro sistema musical actual tiene sus bases en la civilización griega antigua. Se considera
que el filósofo y matemático griego Pitágoras (582-507 a.C.) fue la primera persona que investigó
el sonido musical con una base científica (figura 1.1). Entre otras cosas, Pitágoras realizó experimentos con una sola cuerda por medio de un aparato sencillo llamado monocordio. En el ejemplo
que se muestra en la figura 1.2, los puentes de madera 1 y 3 están fijos. El puente 2 es movible en
tanto que la tensión en la cuerda se mantiene constante mediante el peso colgante. Pitágoras observó que si se someten a la misma tensión dos cuerdas similares de diferentes longitudes, la más corta
emite una nota más alta; además, si la cuerda más corta es de la mitad de la longitud de la más larga,
la más corta emitirá una nota una octava arriba de la otra. Pitágoras no dejó ningún documento de su

Figura 1.1 Pitágoras. (Reimpreso con permiso de I.E. Navia,
Pitágoras: An Annotated Bibliography, Garland Publishing,
Inc., Nueva York, 1990).

1.2

Breve historia del estudio de la vibración

5

Cuerda
1

2

3

Peso

Figura 1.2 Monocordio.

trabajo (figura 1.3), pero ha sido descrito por otros. Aunque en el tiempo de Pitágoras se desarrolló
el concepto de tono, la relación entre el tono y la frecuencia no se entendió sino hasta el tiempo de
Galileo, en el siglo xvi.
Hacia 350 a.C, Aristóteles escribió tratados sobre música y sonido e hizo observaciones como
“La voz es más dulce que el sonido de los instrumentos”, y “El sonido de la flauta es más dulce
que el de la lira”. En 320 a.C., Aristógenes, alumno de Aristóteles y músico, escribió una obra en
tres volúmenes titulada Elementos de armonía. Estos libros son quizá los más antiguos de que se
disponga sobre la música y escritos por los investigadores mismos. Alrededor de 300 a.C., en un
libro llamado Introducción a la armonía, Euclides escribió brevemente sobre la música pero sin
hacer referencia alguna a la naturaleza física del sonido. Los griegos no lograron más avances en el
conocimiento científico del sonido.
Parece que los romanos recibieron todo su conocimiento musical por parte de los griegos, excepto Vitruvio, famoso arquitecto romano que escribió alrededor del año 20 a.C. sobre las propiedades
acústicas de los teatros. Su tratado De Architectura Libri Decem (Diez libros sobre arquitectura),
estuvo perdido durante muchos años, y se habría de redescubrir sólo hasta el siglo xv. Al parecer,
durante casi 16 siglos no hubo después del trabajo de Vitruvio ningún desarrollo en las teorías del
sonido y la vibración.

Figura 1.3 Pitágoras como músico. (Reimpreso con permiso de D.E. Smith, History of Mathematics, Vol. I, Dover Publications, Inc., Nueva York, 1958).

6

Capítulo 1

Fundamentos de vibración
En la antigüedad, China experimentaba muchos sismos. Zhang Heng, que se desempeñó como
historiador y astrónomo en el siglo ii, percibió la necesidad de desarrollar un instrumento para medir
los sismos con precisión. En el año 132 inventó el primer sismógrafo del mundo [1.3, 1.4], el cual
estaba hecho de fino bronce fundido, con un diámetro de ocho chi (un chi equivale a 0.237 metros)
y tenía la forma de una jarra de vino (figura 1.4). Dentro de la jarra había un mecanismo que consistía en un péndulo rodeado por un grupo de ocho palancas que apuntaban en ocho direcciones. En
la parte externa del sismógrafo había ocho figuras de dragón, cada una con una bola de bronce
en las fauces. Debajo de cada dragón había una rana con la boca abierta hacia arriba. Un sismo
fuerte en cualquier dirección inclinaría el péndulo en esa dirección y activaría la palanca en la cabeza del dragón. Esto abría la boca del d ragón y la bola de bronce se soltaba y caía en la boca de la
rana con un sonido metálico. Así, el sismógrafo permitía al personal de vigilancia saber tanto el
tiempo como la dirección de la ocurrencia del sismo.

Figura 1.4 El primer sismógrafo del mundo inventado
en China en el año 132 de nuestra era. (Reimpreso con
permiso de R. Taton (ed.), History of Science, Basic
Books, Inc., Nueva York, 1957).

1.2.2
De Galileo a
Rayleigh

Se considera que Galileo Galilei (1564-1642) es el fundador de la ciencia experimental moderna.
De hecho, a menudo al siglo xvii se le considera como el “siglo del genio” puesto que los cimientos
de la filosofía y la ciencia modernas se sentaron durante ese periodo. Lo que motivó a Galileo a estudiar el comportamiento de un péndulo simple fue la observación de los movimientos de vaivén de
una lámpara en una iglesia de Pisa. Un día, mientras se aburría durante un sermón, Galileo miraba
hacia el techo de la iglesia. Una lámpara oscilante captó su atención. Comenzó a medir el periodo
de los movimientos de péndulo de la lámpara con su pulso, y para su sorpresa se dio cuenta de que
el tiempo era independiente de la amplitud de las oscilaciones. Esto lo llevó a realizar más experimentos con el péndulo simple. En su obra Discorsi e dimostrazione matematiche in torno a due
nuove scienze (Diálogos sobre dos nuevas ciencias), publicada en 1638, Galileo analizó los cuerpos
vibratorios. Describió la dependencia de la frecuencia de la vibración en la longitud de un péndulo simple, junto con el fenómeno de vibraciones simpáticas (resonancia). Los escritos de Galileo
también indican que entendía con claridad la relación entre la frecuencia, la longitud, la tensión y
la densidad de una cuerda vibratoria tensa [1.5]. Sin embargo, el primer informe correcto publicado
de la vibración de cuerdas lo proporcionó el matemático y teólogo francés Mario Mersenne (15881648) en su libro Harmonie universelle (Armonía universal), publicado en 1636. Mersenne también
midió, por primera vez, la frecuencia de vibración de una cuerda larga y a partir de ello pronosticó la
frecuencia de una cuerda más corta de la misma densidad y tensión. Muchos consideran a Mersenne
como el padre la acústica. A menudo se le acredita el descubrimiento de las leyes de las cuerdas
vibratorias porque publicó los resultados en 1636, dos años antes que Galileo. Sin embargo, el

1.2

Breve historia del estudio de la vibración

7

crédito le pertenece a Galileo, puesto que escribió las leyes muchos años atrás y su publicación fue
prohibida por órdenes del Inquisidor de Roma hasta 1638.
Inspirada en el trabajo de Galileo, en 1657 se fundó la Academia del Cimento en Florencia; a
ésta le siguieron las formaciones de la Royal Society of London en 1662, y la Paris Academie des
Sciences en 1666. Más tarde, Robert Hooke (1635-1703) también realizó experimentos para
determinar una relación entre el tono y la frecuencia de vibración de una cuerda. Sin embargo,
Joseph Sauveur (1653-1716) investigó a fondo estos experimentos y acuñó la palabra “acústica”
para la ciencia del sonido [1.6]. Sauveur en Francia y John Wallis (1616-1703) en Inglaterra observaron, de manera independiente, el fenómeno de las formas de modo, y encontraron que una cuerda
tensa que vibra puede no tener movimiento en ciertos puntos, y un movimiento violento en puntos
intermedios. Sauveur llamó nodos a los primeros puntos y bucles a los segundos. Se encontró que
tales vibraciones tenían frecuencias más altas que la asociada con la vibración simple de la cuerda
sin nodos. De hecho, se encontró que las altas frecuencias son múltiplos integrales de la frecuencia
de vibración simple, y Sauveur llamó armónicos a las altas frecuencias y frecuencia fundamental
a la frecuencia de una vibración simple. Sauveur también encontró que una cuerda puede vibrar
sin varios de sus armónicos presentes al mismo tiempo. Además, observó el fenómeno del pulso
cuando dos tubos de órgano de tonos levemente diferentes se hacen sonar juntos. En 1700, Sauveur
calculó, mediante un método un tanto dudoso, la frecuencia de una cuerda tensada a partir de la
comba medida de su punto medio.
Sir Isaac Newton (1642-1727) publicó en 1686 su obra monumental Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica (Principios matemáticos de filosofía natural), que describe la ley de la
gravitación universal, así como las tres leyes del movimiento y otros descubrimientos. La segunda
ley del movimiento de Newton es un lugar común en libros sobre vibraciones para derivar las ecuaciones de movimiento de un cuerpo que vibra. Brook Taylor (1685-1731), matemático inglés, halló
en 1713 la solución teórica (dinámica) del problema de la cuerda vibratoria, y a su vez presentó el
famoso teorema de Taylor sobre una serie infinita. La frecuencia natural de la vibración obtenida
con la ecuación de movimiento derivada por Taylor concuerda con los valores experimentales observados por Galileo y Mersenne. El procedimiento adoptado por Taylor fue perfeccionado con la
introducción de derivadas parciales en las ecuaciones de movimiento por Daniel Bernoulli (17001782), Jean D’Alembert (1717-1783) y Leonard Euler (1707-1783).
La posibilidad de que una cuerda vibre con varios de sus armónicos presentes al mismo tiempo
(si el desplazamiento de cualquier punto en cualquier instante es igual a la suma algebraica de los
desplazamientos de cada armónico) se comprobó con las ecuaciones dinámicas de Daniel Bernoulli
en sus memorias, publicadas por la Academia Berlinesa en 1755 [1.7]. Esta característica se conoce
como el principio de la coexistencia de pequeñas oscilaciones lo cual, en terminología actual, es el
principio de superposición. Se comprobó que este principio es más valioso en el desarrollo de la
teoría de vibraciones y condujo a la posibilidad de expresar cualquier función arbitraria (es decir,
cualquier forma inicial de la cuerda) utilizando una serie infinita de senos y cosenos. Debido a esta
implicación, D’Alembert y Euler dudaron de la validez de este principio. Sin embargo, J. B. J.
Fourier (1768-1830) en su obra Analytical Theory of Heat en 1822 comprobó la validez de este tipo
de expansión.
Joseph Lagrange (1736-1813) presentó la solución analítica de la cuerda vibratoria en sus memorias publicadas por la Academia de Turín en 1759. En su estudio, Lagrange supuso que la cuerda
se componía de una infinidad de partículas de masa idéntica equidistantes, y estableció la existencia
de varias frecuencias independientes iguales a la cantidad de partículas de masa. Cuando se permitió que la cantidad de partículas fuera infinita se encontró que las frecuencias resultantes eran
las mismas que las frecuencias armónicas de la cuerda tensa. El método de establecer la ecuación
diferencial del movimiento de una cuerda (llamada ecuación de onda), presentado en la mayoría
de los libros actuales sobre teoría de la vibración, lo desarrolló por primera vez D’Alembert en sus
memorias publicadas por la Academia de Berlín en 1750. La vibración de vigas delgadas apoyadas

8

Capítulo 1

Fundamentos de vibración
y sujetas de diferentes maneras fue un estudio hecho por primera vez por Euler en 1744 y Daniel
Bernoulli en 1751. Su método se conoce como teoría de vigas delgadas o de Euler-Bernoulli.
Charles Coulomb realizó estudios tanto teóricos como experimentales en 1784 sobre las oscilaciones torsionales de un cilindro de metal suspendido de un cable (figura 1.5). Al suponer que el par
de torsión resistente del alambre torcido es proporcional al ángulo de torsión, dedujo la ecuación de
movimiento para la vibración torsional del cilindro suspendido. Integrando la ecuación de movimiento, encontró que el periodo de oscilación es independiente del ángulo de torsión.
Hay un interesante relato en cuanto al desarrollo de la teoría de vibración de placas [1.8]. En
1802, el científico alemán E. F. F. Chladni (1756-1824) desarrolló el método de colocar arena sobre una placa vibratoria para hallar sus formas de modo y observó la belleza y complejidad de los
patrones modales de las placas vibratorias. En 1809 la Academia Francesa invitó a Chladni a que
hiciera una demostración de estos experimentos. Napoleón Bonaparte, quien asistió a la reunión,
se impresionó muchísimo y donó 3 000 francos a la academia para que se otorgaran a la primera
persona que elaborara una teoría matemática satisfactoria de la vibración de placas. Cerca de la fecha
límite de la competencia, en octubre de 1811, sólo un candidato, Sophie Germain, había entrado al
concurso. Pero Lagrange, que era uno de los jueces, descubrió un error en la derivación de su ecuación diferencial de movimiento. La academia abrió de nuevo la competencia, con una nueva fecha
límite para octubre de 1813. Sophie Germain entró de nuevo al concurso y presentó la forma correcta de la ecuación diferencial. Sin embargo, la academia no le otorgó el premio porque el juez
deseaba una justificación física de las suposiciones hechas en su derivación. La competencia se abrió
una vez más. En 1815, en su tercer intento, Sophie Germain obtuvo por fin el premio aun cuando
los jueces no se sintieran del todo satisfechos con su teoría. De hecho, más tarde se encontró que la
ecuación diferencial era correcta pero las condiciones límite eran erróneas. En 1850, G. R. Kirchhoff
(1824-1887) dio las condiciones límite correctas para la vibración de las placas.
Mientras tanto, el problema de vibración de una membrana flexible rectangular, lo cual es importante para entender el sonido emitido por tambores, fue resuelto por primera vez por Simeon
Poisson (1781-1840). La vibración de una membrana circular fue estudiada en 1862 por R. F. A.
Clebsch (1833-1872). Después de esto, se realizaron estudios de vibración en varios sistemas

B

R

D

E

S

C
B

p
p⬘
C
p⬙

A⬘

M
m
A
m⬘
M⬘

(a)
0
K

a
b
cP
C

180
A

90
(b)

Figura 1.5 Dispositivo de Coulomb para pruebas de vibración torsional. (Reimpreso con permiso de S.P. Timoshenko,
History of Strength of Materials, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1953).

1.2

Breve historia del estudio de la vibración

9

mecánicos y estructurales prácticos. En 1877 Lord Baron Rayleigh publicó su libro sobre la teoría
del sonido [1.9], obra considerada un clásico en materia de sonido y vibración incluso en la actualidad. Notable entre las muchas contribuciones de Rayleigh es el método de encontrar la frecuencia
de vibración fundamental de un sistema conservador al aplicar el principio de conservación de la
energía, ahora conocido como método de Rayleigh. Este método resultó ser una técnica útil para
la solución de problemas de vibración difíciles. Una extensión del método, la cual puede utilizarse
para descubrir múltiples frecuencias naturales, se conoce como método de Rayleigh-Ritz.

1.2.3
Contribuciones
recientes

En 1902, Frahm investigó la importancia del estudio de la vibración torsional en el diseño de flechas de hélice de buques de vapor. El absorbedor de vibración dinámica, el cual implica la adición
de un sistema de resorte y masa secundario para eliminar las vibraciones de un sistema principal,
también fue propuesto por Frahm en 1909. Entre los contribuyentes modernos a la teoría de vibraciones, los nombres de Stodola, De Laval, Timoshenko y Mindlin son notables. Aurel Stodola
(1859-1943) contribuyó al estudio de vibración de vigas, placas y membranas. Desarrolló un método para analizar vigas vibratorias que también es aplicable a aspas de turbina. Dándose cuenta de
que todos los propulsores principales producen problemas de vibración, C. G. P. De Laval (18451913) presentó una solución práctica al problema de la vibración de un disco rotatorio desbalanceado. Después de observar las fallas de las flechas de acero en turbinas de alta velocidad utilizó
una caña de pescar de bambú como flecha para montar el rotor. Observó que este sistema no sólo
eliminaba la vibración del rotor desbalanceado sino que también sobrevivía a velocidades hasta
de 100 000 rpm [1.10].
Stephen Timoshenko (1878-1972), al considerar los efectos de la deformación producida por
inercia y cortante rotatorios, presentó una teoría mejorada de vibración de vigas, la cual se conoce
como teoría de Timoshenko, o de vigas gruesas. R. D. Mindlin presentó una teoría parecida para
analizar la vibración de placas gruesas, incluidos los efectos de deformación por inercia y cortante
rotatorios.
Se sabe desde hace mucho tiempo que los problemas básicos de mecánica, entre ellos los
de las vibraciones, son no lineales. Aun cuando los tratamientos lineales adoptados son bastante
satisfactorios en la mayoría de los casos, no son adecuados en todos. En sistemas no lineales pueden
ocurrir fenómenos que son teóricamente imposibles en sistemas lineales. La teoría matemática de
vibraciones no lineales comenzó a desarrollarse en los trabajos de Poincaré y Lyapunov a fines
del siglo xix. Poincaré desarrolló el método de perturbación en 1892 en relación con la solución
aproximada de problemas de mecánica celestial no lineales. En 1892, Lyapunov sentó los cimientos
de la teoría de estabilidad moderna, la cual es aplicable a todos los tipos de sistemas dinámicos.
Después de 1920, los estudios emprendidos por Duffing y van der Pol presentaron las primeras
soluciones definidas a la teoría de vibraciones no lineales y señalaron su importancia en el campo
de la ingeniería. En los últimos 40 años, autores como Minorsky y Stoker se han esforzado por
reunir en monografías los resultados más importantes en relación con las vibraciones no lineales.
La mayoría de las aplicaciones prácticas de la vibración no lineal implicaban el uso de algún tipo
de método de teoría de la perturbación. Nayfeh investigó los métodos modernos de la teoría de la
perturbación [1.11].
En diversos fenómenos como sismos, vientos, transporte de mercancías sobre vehículos de ruedas y el ruido producido por cohetes y motores de reacción, se presentan características aleatorias. Se
hizo necesario idear conceptos y métodos de análisis de vibración de estos efectos aleatorios. Aunque
en 1905 Einstein consideró el movimiento browniano, un tipo particular de vibración aleatoria, ninguna aplicación se investigó sino hasta 1930. La introducción de la función de correlación por Taylor
en 1920, y la densidad espectral por Wiener y Khinchin a principios de la década de 1930, permitieron el avance de esta teoría. Artículos de Lin y Rice, publicados entre 1943 y 1945, allanaron el

10

Capítulo 1

Fundamentos de vibración

Figura 1.6 Idealización del elemento finito de la carrocería de un autobús. (Reimpresa con permiso de © 1974 Society
of Automotive Engineers, Inc.).

camino para la aplicación de vibraciones aleatorias a problemas prácticos de ingeniería. Las monografías de Crandall y Mark, así como de Robson, sistematizaron el conocimiento existente de la
teoría de vibraciones aleatorias [1.12, 1.13].
Hasta hace aproximadamente 40 años, los estudios de vibración, incluso los que tienen que ver
con sistemas de ingeniería complejos, se realizaron utilizando modelos brutos, con sólo unos cuantos
grados de libertad. Sin embargo, el advenimiento de computadoras de alta velocidad en la década de
1950 hicieron posible tratar sistemas moderadamente complejos y generar soluciones aproximadas
en forma semidefinida, con métodos de solución clásicos y la evaluación numérica de ciertos términos que pueden expresarse en forma cerrada. El desarrollo simultáneo del método del elemento
finito permitió a los ingenieros utilizar computadoras digitales para realizar el análisis de vibración
numéricamente detallado de sistemas mecánicos, vehiculares y estructurales que despliegan miles
de grados de libertad [1.14]. Aun cuando el método del elemento finito no fue nombrado así hasta
hace poco, el concepto se ha utilizado desde hace siglos. Por ejemplo, los matemáticos antiguos
encontraron la circunferencia de un círculo aproximándolo como un polígono, donde cada lado de
éste, en notación actual, puede llamarse elemento finito. El método del elemento finito tal como se
le conoce en la actualidad fue presentado por Turner, Clough, Martin y Topp en conexión con el
análisis de estructuras de avión [1.15]. La figura 1.6 muestra la idealización del elemento finito de
la carrocería de un autobús [1.16].

1.3

Importancia del estudio de la vibración
La mayoría de las actividades humanas implican vibración en una u otra forma. Por ejemplo, oímos
porque nuestros tímpanos vibran y vemos porque las ondas luminosas vibran. La respiración está
asociada con la vibración de los pulmones y el caminar implica el movimiento oscilatorio (periódico)
de piernas y manos. El habla humana requiere el movimiento oscilatorio de la laringe (y la lengua)
[1.17]. Los eruditos antiguos en el campo de la vibración concentraron sus esfuerzos en la comprensión de los fenómenos naturales y el desarrollo de las teorías matemáticas para describir la vibración
de sistemas físicos. En años recientes, muchas aplicaciones de la vibración en el campo de la ingeniería han motivado a los investigadores, entre ellas el diseño de máquinas, cimientos, estructuras,
motores, turbinas y sistemas de control.

1.3

Importancia del estudio de la vibración

11

La mayoría de los propulsores principales experimentan problemas vibratorios debido al desequilibrio inherente en los motores. El desequilibrio puede deberse al diseño defectuoso o a una
fabricación deficiente. El desequilibrio en motores diesel, por ejemplo, puede provocar ondas terrestres suficientemente poderosas como para provocar molestias en áreas urbanas. Las ruedas de
algunas locomotoras pueden alzarse más de un centímetro de la vía a altas velocidades debido al
desequilibrio. En turbinas, las vibraciones provocan fallas mecánicas espectaculares. Los ingenieros aún no han sido capaces de evitar las fallas a consecuencia de las vibraciones de aspas y discos
en turbinas. Naturalmente, las estructuras diseñadas para soportar máquinas centrífugas pesadas
como motores y turbinas, o máquinas reciprocantes como motores de vapor y de gasolina, también
se ven sometidas a vibración. En todas estas situaciones, el componente de la estructura o máquina
sometido a vibración puede fallar debido a fatiga del material producida por la variación cíclica
del esfuerzo inducido. Además, la vibración provoca un desgaste más rápido de las partes de la
máquina como cojinetes y engranes e incluso produce ruido excesivo. En máquinas, la vibración
puede aflojar los sujetadores, como las tuercas. En procesos de corte de metal, la vibración puede
provocar rechinidos, lo cual conduce a un acabado deficiente de la superficie.
Siempre que la frecuencia natural de la vibración de una máquina o de una estructura coincide
con la frecuencia de la excitación externa se presenta un fenómeno conocido como resonancia, el
cual conduce a deflexiones y fallas excesivas. La literatura abunda en relatos de fallas de sistemas
provocadas por resonancia y vibración excesiva de los componentes y sistemas (vea la figura 1.7).
Debido a los devastadores efectos que las vibraciones pueden tener en máquinas y estructuras, las
pruebas de vibración [1.18] se volvieron un procedimiento estándar en el diseño y desarrollo de la
mayoría de los sistemas de ingeniería (vea la figura 1.8).
En muchos sistemas de ingeniería, un ser humano actúa como una parte integral del sistema. La transmisión de vibraciones a los seres humanos provoca molestias y pérdida de eficiencia.

Figura 1.7 El puente Tacoma Narrows durante la vibración inducida por el viento. El puente se inauguró
el 1 de julio de 1940 y colapsó el 7 de noviembre del mismo año. (Fotografía de Farquharson, de la Historical Photography Collection, University of Washington Libraries).

12

Capítulo 1

Fundamentos de vibración

Figura 1.8 Prueba de vibración del transbordador espacial Enterprise.
(Cortesía de la NASA).

La vibración y el ruido generados por motores molestan a las personas, y en ocasiones producen daños a las propiedades. La vibración de los tableros de instrumentos puede provocar su mal funcionamiento o dificultad para leer los medidores [1.19]. Por lo tanto, uno de los propósitos importantes
del estudio de la vibración es reducirla mediante el diseño apropiado de máquinas y sus montajes.
En este sentido, el ingeniero mecánico trata de diseñar el motor o máquina de modo que se reduzca
el desequilibrio, mientras que el ingeniero estructural trata de diseñar la estructura de soporte de
modo que el efecto del desequilibrio no sea dañino [1.20].
A pesar de los efectos perjudiciales, la vibración puede utilizarse con provecho en varias aplicaciones industriales y comerciales. De hecho, las aplicaciones de equipo vibratorio se han incrementado considerablemente en años recientes [1.21]. Por ejemplo, la vibración se pone a trabajar en
transportadoras vibratorias, tolvas, tamices, compactadoras, lavadoras, cepillos de dientes eléctricos,
taladros de dentista, relojes y unidades de masaje eléctricas. La vibración también se utiliza en el
hincado de pilotes, pruebas vibratorias de materiales, proceso de acabado vibratorio y circuitos electrónicos para filtrar las frecuencias indeseables (vea la figura 1.9). Se ha visto que la vibración mejora
la eficiencia de ciertos procesos de maquinado, fundición, forja y soldadura. Se emplea para simular
sismos en la investigación geológica y también para estudiar el diseño de reactores nucleares.

Figura 1.9 Proceso de acabado vibratorio. (Reimpreso por cortesía de Manufacturing Engineers, © 1964
The Tool and Manufacturing Engineer).

1.4

1.4
1.4.1
Vibración

1.4.2
Partes
elementales
de sistemas
vibratorios

Conceptos básicos de la vibración

13

Conceptos básicos de la vibración
Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se llama vibración u oscilación. El vaivén de un péndulo y el movimiento de una cuerda pulsada son ejemplos comunes de
vibración. La teoría de la vibración tiene que ver con el estudio de los movimientos oscilatorios
de los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos.
Por lo común un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energía potencial (resorte o
elasticidad), un medio para conservar energía cinética (masa o inercia) y un medio por el cual la
energía se pierde gradualmente (amortiguador).
La vibración de un sistema implica la transformación de su energía potencial en energía cinética y de ésta en energía potencial, de manera alterna. Si el sistema se amortigua, una parte de su
energía se disipa en cada ciclo de vibración y se le debe reemplazar por una fuente externa para que
se mantenga un estado de vibración estable.
Como un ejemplo, consideremos la vibración del péndulo simple que se muestra en la figura
1.10. Soltemos la lenteja de masa m después de desplazarla un ángulo u. En la posición 1 la velocidad de la lenteja y por consiguiente su energía cinética es cero. Pero tiene una energía potencial de
magnitud mgl(1 2 cos u) con respecto a la posición de referencia 2. Como la fuerza de la gravedad
mg induce un par de torsión mgl sen u con respecto al punto O, la lenteja comienza a oscilar hacia
la izquierda de la posición 1. Esto imparte a la lenteja una cierta aceleración angular en el sentido
de las manecillas del reloj y en el momento en que llega a la posición 2 toda su energía potencial se
convierte en energía cinética. De ahí que la lenteja no se detenga en la posición 2 sino que continuará
oscilando a la posición 3. Sin embargo, al pasar por la posición media 2, un par de torsión en sentido
contrario al de las manecillas del reloj debido a la gravedad que actúa en la lenteja la desacelera. La
velocidad de la lenteja se reduce a cero en la posición extrema izquierda. En este momento, toda
la energía cinética de la lenteja se convierte en energía potencial. De nueva cuenta, debido al par
de torsión producido por la gravedad, la lenteja adquiere velocidad en sentido contrario al de las
manecillas del reloj. Por consiguiente, la lenteja comienza a oscilar de regreso con una velocidad progresivamente creciente y de nuevo pasa por la posición media. Este proceso continúa repitiéndose,
el péndulo tendrá movimiento oscilatorio. Sin embargo, en la práctica, la magnitud de la oscilación
(u) se reduce gradualmente y por fin el péndulo se detiene debido a la resistencia (amortiguamiento)
ofrecida por el medio circundante (aire). Esto quiere decir que una parte de la energía se disipa en
cada ciclo de vibración debido a la acción de amortiguamiento del aire.

O

.

Posición
de referencia

y

l

3

m

2

1
l (1  cos .)

x
mg

Figura 1.10 Un péndulo simple.

14

Capítulo 1

1.4.3
Cantidad
de grados de
libertad

Fundamentos de vibración
El mínimo de coordenadas independientes requerido para determinar por completo todas las partes
de un sistema en cualquier instante de tiempo define la cantidad de grados de libertad del sistema. El péndulo simple que se muestra en la figura 1.10, así como cada uno de los sistemas de
la figura 1.11, representa un sistema de un solo grado de libertad. Por ejemplo, el movimiento
del péndulo simple (figura 1.10) se puede formular o en función del ángulo u o en función de las
coordenadas cartesianas x y y. Si se utilizan las coordenadas x y y para describir el movimiento,
debe reconocerse que estas coordenadas no son independientes. Están relacionadas entre sí mediante la relación x2 1 y2 5 l 2, donde l es la longitud constante del péndulo. Por lo tanto cualquier
coordenada puede describir el movimiento del péndulo. En este caso vemos que la selección de u
como coordenada independiente será más conveniente que la selección de x o de y. Para la corredera que se muestra en la figura 1.11(a) puede usarse tanto la coordenada angular u como la coordenada x para describir el movimiento. En la figura 1.11(b) se puede usar la coordenada lineal x para
especificar el movimiento. Para el sistema torsional (barra larga con un pesado disco en el extremo)
que se muestra en la figura 1.11(c), se puede utilizar la coordenada u para describir el movimiento.
Algunos ejemplos de sistemas de dos y tres grados de libertad se muestran en la figuras 1.12
y 1.13, respectivamente. La figura 1.12(a) muestra un sistema de dos masas y dos resortes descrito
por las dos coordenadas lineales x1 y x2. La figura 1.12(b) indica un sistema de dos rotores cuyo
movimiento puede especificarse en función de u1 y u2. El movimiento del sistema que se muestra
en la figura 1.12(c) puede describirse por completo con X o u, o con x, y y X. En el segundo caso,
x y y están restringidas como x2 1 y2 5 l 2 donde l es una constante.
Para los sistemas que se muestran en las figuras 1.13(a) y 1.13(c), se pueden utilizar las coordenadas xi(i 5 1, 2, 3) y ui (i 5 1, 2, 3), respectivamente, para describir el movimiento. En el caso
del sistema que se muestra en la figura 1.13(b), ui (i 5 1, 2, 3) especifica las posiciones de las masas

x
k

u

u

m
x
(a) Mecanismo de manivela
corrediza y resorte

(b) Sistema de resorte y masa

(c) Sistema torsional

Figura 1.11 Sistemas de un grado de libertad.

X
m

u1
x1
k1

x2
k2

m1

J1

l

u2

m2

u

J2
(a)

Figura 1.12 Sistema de dos grados de libertad.

(b)

(c)

x

y

1.4
x2

x1
k1

Conceptos básicos de la vibración

k2

x3
k3

k4

m2

m1

15

m3

(a)
u1
u2
u1

u3

y1

l1
m1
x1 u 2 l2

x2

J1
y2

J3

(c)

m2
l3

u3

J2

m3

y3

x3
(b)

Figura 1.13 Sistema de tres grados de libertad.

mi (i 5 1, 2, 3). Un método alterno de describir este sistema es en función de xi y yi (i 5 1, 2, 3);
pero en este caso se tienen que considerar las restricciones x2i + y2i = l2i (i 5 1, 2, 3).
Las coordenadas necesarias para describir el movimiento de un sistema constituyen un conjunto de coordenadas generalizadas. Éstas se suelen indicar como q1, q2,... y pueden representarse
como coordenadas cartesianas y/o no cartesianas.

1.4.4
Sistemas
discretos
y continuos

Por medio de una cantidad finita de grados de libertad se puede describir un buen número de sistemas prácticos, como los sistemas simples que se muestran en las figuras 1.10 a 1.13. Algunos
sistemas, sobre todo los que implican miembros elásticos continuos, tienen una infinitud de grados de
libertad. Como un ejemplo simple, consideremos la viga en voladizo de la figura 1.14. Como la
viga tiene una infinitud de puntos de masa, necesitamos una infinitud de coordenadas para especificar su configuración de deflexión. La infinitud de coordenadas define la curva de deflexión. Así
entonces, la viga en voladizo tiene una infinitud de grados de libertad. La mayoría de los sistemas
de estructuras y máquinas tienen miembros deformables (elásticos) y por consiguiente tienen una
infinitud de grados de libertad.
Los sistemas con una cantidad finita de grados de libertad se conocen como sistemas discretos
o de parámetro concentrado, y los que cuentan con una infinitud de grados de libertad se conocen
como sistemas continuos o distribuidos.
La mayor parte del tiempo, los sistemas continuos se representan de forma aproximada como
sistemas discretos y las soluciones se obtienen de una manera simple. Aun cuando el tratamiento de

x1
x2
x3
etc.

Figura 1.14 Una viga en voladizo (sistema de una infinitud
de grados de libertad).

16

Capítulo 1

Fundamentos de vibración
un sistema como continuo da resultados exactos, el método analítico disponible para ocuparse de
los sistemas continuos se limita a una escasa selección de problemas como vigas uniformes, variables esbeltas y placas delgadas. De ahí que la mayoría de los sistemas prácticos se estudian
tratándolos como masas concentradas finitas, resortes y amortiguadores. Por lo común se obtienen
resultados más precisos aumentando la cantidad de masas, resortes y amortiguadores, es decir,
aumentando la cantidad de grados de libertad.

1.5

Clasificación de la vibración
La vibración se puede clasificar de varias maneras. Algunas de las clasificaciones importantes son
las siguientes.

1.5.1
Vibración libre
y forzada

1.5.2
Vibración no
amortiguada
y amortiguada

1.5.3
Vibración
lineal
y no lineal

1.5.4
Vibración
determinística
y aleatoria

Vibración libre. Si se deja que un sistema vibre por sí mismo después de una perturbación inicial,
la vibración resultante se conoce como vibracion libre. Ninguna fuerza externa actúa en el sistema.
La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre.
Vibración forzada. Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza repetitiva),
la vibración resultante se conoce como vibración forzada. La oscilación que aparece en máquinas
como motores diesel es un ejemplo de vibración forzada.
Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema,
ocurre una condición conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente
grandes. Las fallas de estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avión se han asociado
a la ocurrencia de resonancia.
Si no se pierde o disipa energía por fricción u otra resistencia durante la oscilación, la vibración se
conoce como vibración no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energía se llama vibración
amortiguada. En muchos sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede ser ignorada en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. Sin embargo, la consideración del
amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios próximos
a la resonancia.
Si todos los componentes básicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador, se
comportan linealmente, la vibración resultante se conoce como vibración lineal. Pero si cualquiera
de los componentes básicos se comporta de manera no lineal, la vibración se conoce como vibración no lineal. Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de sistemas vibratorios
lineales o no lineales son asimismo lineales o no lineales, respectivamente. Si la vibración es lineal
el principio de superposición es válido y las técnicas matemáticas de análisis están bien desarrolladas. Para vibración no lineal, el principio de superposición no es válido y las técnicas de análisis
son menos conocidas. Como los sistemas vibratorios tienden a comportarse no linealmente con
amplitud de oscilación creciente, es deseable un conocimiento de la vibración no lineal cuando se
trate con sistemas vibratorios.
Si el valor o magnitud de la excitación (fuerza o movimiento) que actúa en un sistema vibratorio se
conoce en cualquier tiempo dado, la excitación se llama determinística. La vibración resultante
se conoce como vibración determinística.
En algunos casos la excitación es no determinística o aleatoria; el valor de la excitación en un
momento dado no se puede pronosticar. En estos casos, una recopilación de registros de la excitación puede presentar cierta regularidad estadística. Es posible estimar promedios como los valores

1.6
Fuerza

0

Procedimiento del análisis de la vibración

17

Fuerza

Tiempo

(a) Excitación determinística (periódica)

0
Tiempo
(b) Excitación aleatoria

Figura 1.15 Excitaciones determinística y aleatoria.

medios o medios al cuadrado de la excitación. Ejemplos de excitaciones aleatorias son la velocidad
del viento, la aspereza del camino y el movimiento de tierra durante sismos. Si la excitación es
aleatoria, la vibración resultante se llama vibración aleatoria. En este caso la respuesta vibratoria
del sistema también es aleatoria; se puede describir sólo en función de cantidades estadísticas. La
figura 1.15 muestra ejemplos de excitaciones determinísticas y aleatorias.

1.6

Procedimiento del análisis de la vibración
Un sistema vibratorio es dinámico si variables como las excitaciones (entradas) y respuestas (salidas) dependen del tiempo. La respuesta de un sistema vibratorio suele depender tanto de las condiciones iniciales como de las excitaciones externas. La mayoría de los sistemas vibratorios prácticos
son muy complejos, y es imposible considerar todos los detalles para un análisis matemático. En el
análisis sólo se consideran los detalles más importantes para predecir el comportamiento del sistema en condiciones de entrada específicas. A menudo se puede determinar el comportamiento total
del sistema por medio de un modelo simple del sistema físico complejo. Por lo que el análisis de un
sistema vibratorio suele implicar el modelado matemático, la derivación de las ecuaciones rectoras,
la solución de las ecuaciones y la interpretación de los resultados.
Paso 1: Modelado matemático. El propósito del modelado matemático es representar todos los
detalles importantes del sistema con el objeto de derivar las ecuaciones matemáticas (o analíticas)
que rigen el comportamiento del sistema. El modelo matemático puede ser lineal o no lineal, según el comportamiento de los componentes del sistema. Los modelos lineales permiten soluciones
rápidas y son sencillos de manejar, sin embargo, los modelos no lineales a veces revelan ciertas
características del sistema que no pueden ser pronosticadas siguiendo modelos lineales. Por lo
tanto se requiere un gran criterio de ingeniería para producir un modelo matemático adecuado de
un sistema vibratorio.
A veces el modelo matemático se mejora gradualmente para obtener resultados más precisos.
En este método primero se utiliza un modelo muy rústico o elemental para tener una idea del comportamiento total del sistema. Luego se refina el modelo con la inclusión de más componentes o
detalles, de modo que se pueda observar más de cerca el comportamiento del sistema. Para ilustrar
el procedimiento de refinamiento utilizado en el modelado matemático, consideremos el martillo
de forja de la figura 1.16(a). Se compone de un marco, un peso que cae, conocido como mazo, un
yunque y un bloque de cimentación. El yunque es un bloque de acero macizo sobre el cual se forja
el material a la forma deseada por medio de los repetidos golpes del mazo. Por lo común el yunque
se monta sobre una almohadilla elástica para reducir la transmisión de la vibración al bloque de
cimentación y marco [1.22]. Para una primera aproximación, el marco, el yunque, la almohadilla elástica, el bloque de cimentación y el suelo, se modelan como un sistema de un solo grado
de libertad como se muestra en la figura 1.16(b). Para una aproximación refinada, los pesos del

18

Capítulo 1

Fundamentos de vibración
marco, yunque y bloque de cimentación se representan por separado con un modelo de dos grados
de libertad, como se muestra en la figura 1.16(c). El modelo se puede refinar aún más considerando
los impactos excéntricos del mazo, los cuales hacen que cada una de las masas que se presentan en
la figura 1.16(c) asuman movimientos tanto verticales como de bamboleo (rotaciones) en el plano
del papel.

Mazo

Marco

Yunque
Almohadilla elástica
Bloque de cimentación
Suelo

(a)
Mazo

Yunque y bloque
de cimentación
x1
Amortiguamiento del suelo

Rigidez del suelo

(b)
Mazo

Yunque
x1
Amortiguamiento
de la almohadilla elástica

Rigidez de la almohadilla elástica

Bloque de cimentación
x2
Amortiguamiento del suelo

Rigidez del suelo

(c)

Figura 1.16 Modelado de un martillo de forja.

1.6

Procedimiento del análisis de la vibración

19

Paso 2: Derivación de las ecuaciones rectoras. Una vez que el modelo matemático está disponible, utilizamos el principio de dinámica y obtenemos las ecuaciones que describen la vibración
del sistema. Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar de una forma adecuada trazando
los diagramas de cuerpo libre de todas las masas que intervienen. El diagrama de cuerpo libre de
una masa se obtiene aislándola e indicando todas las fuerzas externamente aplicadas, las fuerzas
reactivas y las fuerzas de inercia. Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio suelen
ser un conjunto de ecuaciones diferenciales comunes para un sistema discreto y de ecuaciones diferenciales parciales para un sistema continuo. Las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales
según el comportamiento de los componentes del sistema. Por lo común se utilizan varios métodos
para derivar las ecuaciones rectoras. Entre ellos están la segunda ley del movimiento de Newton, el
principio de D’Alembert y el principio de conservación de la energía.
Paso 3: Solución de las ecuaciones rectoras. Las ecuaciones de movimiento deben resolverse
para hallar la respuesta del sistema vibratorio. Dependiendo de la naturaleza del problema, podemos utilizar una de las siguientes técnicas para determinar la solución: métodos estándar de
solución de ecuaciones diferenciales, métodos de transformada de Laplace, métodos matriciales1 y
métodos numéricos. Si las ecuaciones rectoras son no lineales, rara vez pueden resolverse en forma cerrada. Además, la solución de ecuaciones diferenciales parciales es mucho más complicada
que la de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se pueden utilizar métodos numéricos que implican
computadoras para resolver las ecuaciones. Sin embargo, es difícil sacar conclusiones generales
sobre el comportamiento del sistema con resultados obtenidos con computadora.
Paso 4: Interpretación de los resultados. La solución de las ecuaciones rectoras proporciona los
desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las diversas masas del sistema. Estos resultados deben interpretarse con una clara visión del objetivo del análisis y de las posibles implicaciones
de diseño de los resultados.

Ejemplo 1.1

Modelo matemático de una motocicleta
La figura 1.17(a) muestra una motocicleta con un motociclista. Desarrolle una secuencia de tres modelos matemáticos del sistema para investigar la vibración en la dirección vertical. Considere la elasticidad de las llantas
y el amortiguamiento de los amortiguadores (en dirección vertical), las masas de las ruedas y la elasticidad,
amortiguamiento y masa del motociclista.
Solución: Comenzamos con el modelo más simple y lo refinamos gradualmente. Cuando se utilizan los valores equivalentes de la masa, rigidez y amortiguamiento del sistema, obtenemos un modelo de un solo grado de
libertad de la motocicleta con un motociclista como se indica en la figura 1.17(b). En este modelo, la rigidez
equivalente (keq) incluye la rigidez de las llantas, amortiguadores y motociclista. La constante de amortiguamiento equivalente (ceq) incluye el amortiguamiento de los amortiguadores y el motociclista. La masa
equivalente incluye las masas de las ruedas, el cuerpo del vehículo y al motociclista. Este modelo se puede
refinar representando las masas de las ruedas, la elasticidad de las llantas y la elasticidad y amortiguamiento
de los amortiguadores por separado, como se muestra en la figura 1.17(c). En este modelo, la masa del cuerpo del
vehículo (mv) y la masa del motociclista (mr) se muestran como una sola masa mv 1 mr. Cuando se considera
la elasticidad (como constante de resorte kr) y el amortiguamiento (como constante de amortiguamiento cr) del
motociclista, se obtiene el modelo refinado que se muestra en la figura 1.17(d).

1 Las definiciones y operaciones básicas de la teoría de matrices puede encontrarlas en los apéndices de este libro, en el
sitio web.

20

Capítulo 1

Fundamentos de vibración
Observe que los modelos de las figuras 1.17(b) a (d) no son únicos. Por ejemplo, si se combinan las constantes de resorte de ambas llantas, las masas de las dos ruedas y las constantes de resorte y amortiguamiento
de los dos amortiguadores como cantidades únicas, se obtiene el modelo que se muestra en la figura 1.17(e)
en lugar del de la figura 1.17(c).

Motociclista

Amortiguador
Amortiguador

Llanta
Rueda
(a)
mv⫹mr

meq
ks

cs
mw

ceq

keq

cs

ks
mw

kt

(b)

kt

(c)

t : llanta
w : rueda

mr

Subíndices

v : vehículo
r : motociclista

s : amortiguador eq : equivalente
kr

cr
mv⫹mr

mv
ks

cs

cs

mw

ks

2cs
2mw

mw

kt

2ks

2kt

kt

(d)

(e)

Figura 1.17 Motocicleta con motociclista, lo cual comprende un sistema
físico y un modelo matemático.
■

1.7

1.7

Elementos de resorte

21

Elementos de resorte
Un resorte es un tipo de eslabón mecánico, el cual en la mayoría de las aplicaciones se supone que
tiene masa y amortiguamiento insignificantes. El tipo de resorte más común es el resorte helicoidal
utilizado en lapiceros y plumas retráctiles, engrapadoras y suspensiones de camiones de carga y
otros vehículos. Se pueden identificar varios otros tipos en aplicaciones de ingeniería. De hecho,
cualquier cuerpo o miembro deformable, cable, barra, viga, flecha o placa, puede considerarse
como un resorte. Un resorte se suele representar como se muestra en la figura 1.18(a). Si la longitud del resorte, sin que actúe ninguna fuerza, se indica con l, cuando se aplica una fuerza axial
cambia la longitud. Por ejemplo, cuando se aplica una fuerza de tensión F en su extremo libre 2,
el resorte experimenta un alargamiento x como se muestra en la figura 1.18(b), mientras que una
fuerza de compresión F aplicada en el extremo libre 2 reduce la longitud x como se muestra en la
figura 1.18(c).
Se dice que un resorte es lineal si el alargamiento o acortamiento de longitud x está relacionado
con la fuerza aplicada como
(1.1)

F 5 kx

donde k es una constante, conocida como la constante de resorte, rigidez de resorte o tasa de
resorte. La constante de resorte k siempre es positiva e indica la fuerza (positiva o negativa) requerida para producir una deflexión unitaria (alargamiento o reducción de la longitud) en el resorte.
Cuando el resorte se alarga (o comprime) con una fuerza de tensión (o compresión), de acuerdo
con la tercera ley del movimiento de Newton, se desarrolla una fuerza de restauración de magnitud
2 F (o 1 F) opuesta a la fuerza aplicada. Esta fuerza de restauración trata de regresar el resorte
alargado (o comprimido) a su longitud original no alargada o libre como se muestra en la figura
1.18(b) (o 1.18(c)). Si trazamos la gráfica entre F y x, el resultado es una línea recta de acuerdo con
la ecuación (1.1). El trabajo realizado (U) al deformar un resorte se almacena como deformación o
energía potencial en el resorte, y está dado por
1 2
kx
2

U =

1

1

1
l⫺x

l

⫹F
l⫹x

2⬘
x

2
⫺F

x

⫺F

2⬘
⫹F
(a)

(b)

(c)

Figura 1.18 Deformación de un resorte.

(1.2)

22

Capítulo 1

1.7.1
Resortes no
lineales

Fundamentos de vibración
La mayoría de los resortes que se utilizan en sistemas prácticos presentan una relación fuerzadeflexión no lineal, en particular cuando las deflexiones son grandes. Si un resorte no lineal experimenta deflexiones pequeñas puede ser reemplazado por un resorte lineal con el procedimiento
explicado en la sección 1.7.2. En el análisis de vibración, comúnmente se utilizan resortes no lineales cuyas relaciones de fuerza-deflexión están dadas por
F 5 ax 1 bx3,

a.0

(1.3)

En la ecuación (1.3), a indica la constante asociada con la parte lineal y b indica la constante asociada con la de no linealidad (cúbica). Se dice que el resorte es duro si b . 0, lineal si b 5 0, y
suave si b , 0. En la figura 1.19 se muestran las relaciones de fuerza-deflexión correspondientes a
varios valores de b.
Fuerza (F )

Resorte lineal (b ⫽ 0)
Resorte suave (b ⬍ 0)
Deflexión (x)

O

Resorte duro (b ⬎ 0)

Figura 1.19 Resortes no lineales y lineales.
⫹x

O
k1

k2
W

c1

c2
(a)
Fuerza de resorte (F)
k2(x ⫺ c2)
k2
O

Desplazamiento (x)
c2

c1
k1
k1(x ⫺ c1)
(b)

Figura 1.20 Relación fuerza-desplazamiento de
un resorte no lineal.

1.7

Elementos de resorte

23

Algunos sistemas, con dos o más resortes, pueden presentar una relación fuerza-desplazamiento
no lineal aunque los resortes individuales sean lineales. Algunos ejemplos de dichos sistemas se
muestran en las figuras 1.20 y 1.21. En la figura 1.20(a), el peso (o fuerza) W se desplaza libremente a
través de los espacios libres c1 y c2 del sistema. Una vez que el peso se pone en contacto con un resorte particular después de pasar por el espacio libre correspondiente, la fuerza de resorte se incrementa
en proporción a la constante del resorte particular (vea la figura 1.20(b)). Se puede ver que la relación
resultante de fuerza-desplazamiento, aunque es lineal parte por parte, indica una relación no lineal.
En la figura 1.21(a), los dos resortes, rigideces k1 y k2, tienen diferentes longitudes. Observe
que, por sencillez, el resorte con rigidez k1 se muestra en la forma de dos resortes paralelos, cada uno
con una rigidez de k1/2. Los modelos de sistemas de resortes de este tipo se pueden utilizar en el análisis de vibración de paquetes y suspensiones que se utilizan en los trenes de aterrizaje de aviones.
Cuando el resorte k1 se deforma en una cantidad x 5 c, el segundo resorte entra en acción y
proporciona rigidez adicional k2 al sistema. La relación fuerza-desplazamiento no lineal se muestra
en la figura 1.21(b).

F

Barra rígida
sin peso

Fuerza de resorte (F)
O

c
x
k1
2

F ⫽ k1x

k1
2

F ⫽ k1x ⫹ k2(x ⫺ c)

k2

O
x ⫽ 0 corresponde a la posición
de la barra sin fuerza

x
Desplazamiento
de la fuerza

c
(b)

(a)

Figura 1.21 Relación fuerza-desplazamiento de un resorte no lineal.

1.7.2
Linealización
de un resorte
no lineal

Los resortes reales son no lineales y obedecen la ecuación (1.1) sólo hasta determinada deformación. Más allá de un cierto valor de deformación (después del punto A en la figura 1.22), el esfuerzo
excede el punto cedente o de deformación del material y la relación entre fuerza y deformación se
hace no lineal [1.23, 1.24]. En muchas aplicaciones prácticas suponemos que las deflexiones son
pequeñas y utilizamos la relación lineal de la ecuación (1.1). Inclusive, si la relación de fuerzadeflexión de un resorte es no lineal, como se muestra en la figura 1.23, a menudo la aproximamos
como lineal por medio de un proceso de linealización [1.24, 1.25]. Para ilustrar el proceso de linealización, sea F la carga estática que actúa en el resorte y que provoca una deflexión de x*. Si se
agrega una fuerza incremental DF a F, el resorte se deforma en una cantidad adicional Dx. La nueva
fuerza de resorte F 1 DF se expresa mediante la expansión de la serie de Taylor con respecto a la
posición de equilibrio estático x* como
F + ¢F = F(x* + ¢x)
= F(x*) +

1 d2F
dF
` (¢x) +
` (¢x)2 + Á
dx x*
2! dx2 x*

(1.4)

24

Capítulo 1

Fundamentos de vibración

Esfuerzo

x2

Fuerza (F )

x1

x ⫽ x1 ⫺ x2
Punto de
cedencia, A

Punto de
cedencia, A

Deformación unitaria

Deformación (x)

Figura 1.22 Límite de no linealidad más allá del límite de proporcionalidad.

Fuerza (F )
F ⫽ F(x)
F ⫹ ⌬F ⫽ F(x * ⫹ ⌬x)
k⫽
F ⫽ F(x *)

x*

dF
dx x *

Deformación (x)

x * ⫹ ⌬x

Figura 1.23 Proceso de linealización.

Para valores pequeños de Dx,