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Matemática Básica 2: Vectores y Matrices

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Year:
2016
Language:
spanish
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1

Campo Pedagogico y Psicoanalisis

Year:
1991
Language:
spanish
File:
PDF, 2.26 MB
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2

Nuestro Mundo Social

Language:
spanish
File:
PDF, 8.53 MB
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MATEMATICA BASICA II

R. FIGUEROA G.
Y

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LIMA - PERU

MATEMATICA BASICA 2

VECTORES Y MATRICES
Primera Edición:
Segunda Edición:

Marzo 1985
Marzo 1988

Reimpresión de la
Segunda Edición: Agosto 1990
Agosto 1992
Agosto 1993

Impreso p o r:

EDICIONES E IMPRESIONES GRAFICAS AMERICA S.R.L
Jr. Loreto Nro. 1696 Breña (Lima 5). Telefax 325827

Revisado p o r: RICARDO FIGUEROA GARCIA
Egresado de la Universidad Nacional de Ingenería
Facultad de Mecánica

Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley Nro 19437
Queda prohibido la reproducción por cualquier medio, total o
parcialmente, sin permiso escrito del autor.

III

PROLOGO

Dada la acogida que le dispensaron los estudiantes a las edi­
ciones preliminares de esta obra, explica la aparición de esta
nueva edición ampliada, en la que se han hecho las modificacio­
nes necesarias con el propósito de hacer más asequible su lectu­
ra, pues la obra proporciona una excelente preparación para el
estudio de cursos superiores como el Análisis Matemático y sobre
todo, el Algebra Lineal.
El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene conocimien­
to del Algebra y la Geometría Elemental. En el primer capítulo
se desarrolla la relación que existe entre estos dos grandes cam
pos de la matemática; esto es, el estudio de la técnica de

los

vectores. Los sistemas de coordenadas que se utilizan, primero
el bidimensional (plano) se extiende después al tridimensional
(espacio), indicando claramente el camino para generalizar los
conceptos a otras dimensiones, y luego finalizar, haciendo

un

breve estudio de los espacios vectoriales.
En el segundo capítulo se hace referencia al estudio de las ma
trices de acuerdo con su dimensión o tamaño y sus aplicaciones a
la solución de ecuaciones lineales.
En el tercer capítulo se expone la teoría de los determinantes,
de particular importancia en la teoría de las matrices y sus nu­
merosas aplicaciones.
. Con este libro se;  tiene la intensión de desarrollar la capaci­
dad del estudiante y crear en él hábitos de rutina matemática;
esto es, la exposición teórica es acompañada de numerosos ejem­
plos y ejercicios con sus respuestas adjuntas, los cuales, indu­
dablemente, ayudarán al estudiante a adquirir destreza y afirmar
el dominio de la materia. Por ello, recomiendo que los ejercicios
propuestos se resuelvan sistemáticamente,

toda vez que su solu­

ción obedece a un criterio de aprendizaje progresivo.

IV

PÁóíogo

Mi reconocimiento a todos los amigos profesores que tuvieron
la gentileza de hacerme llegar sus sugerencias y observaciones a
las ediciones preliminares. Sus críticas constructivas hicieron
posible corregir, mej-orar y ampliar esta nueva edición.
•
Ricardo Figueroa García
*

CONTENIDO
(g

VECTORES

1.1
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11

Introducción.
1.2
Coordenadas Cartesinas
Vectores en el plano.
Representación geométrica de un vector.
Magnitud de un vector. Propiedades.
Dirección de un vector en R2
Vector Unitario.
Adición de Vectores. Propiedades.
Representación gráfica de la adición de vectores.
Sustracción de vectores.
Multiplicación de un escalar por un vector. Representación gráfica.
Propiedades.
Vectores Paralelos.
Producto escalar de vectores.
Vectores ortogonales.
Angulo formado por dos vectores.
Descomposición de vectores.
Proyección Ortogonal.
Componentes Escalares.
Area del paralelogramo y del triángulo.
Descomposición Lineal.
1.21 Independencia Lineal.
1.22 Criterio de Independencia Lineal.
Regla de comparación de coeficientes.
Aplicación de ios vectores a la Geometría Elemental.
Aplicación de los vectores a la Física.

1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.23
1.24
1.25

1
4
5
9
1 0 fc
11

13
14
15
25
26
33
34
45
53
55
56
69
77
78
91
99

ECUACIONES VECTORIALES DE LA RECTA
1.26 Rectas en el piano.
1.27 Segmentos de recta.
1.28 División de un segmento en una razón dada.
1.29 Puntos que están sobre una recta.
1.30 Pendientes de una recta. Rectas paralelas y ortogonales.

107
108
110

115
120

Conten ido

VI

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA
1.31

Forma general de la ecuación de una recta.

128

1.32
1.33

Forma Punto-Pendiente.
Forma Pendiente y Ordenada en el origen.

1 3°
131

1.34

Forma abscisa yordenada en el origen.

132

1.35

Forma Simétrica.

1^2

RELACIONES ENTRE RECTAS

%

1.36

Distancia de un

punto a una recta dada.

135

1.37

Intersección derectas.

“U 1

1.38

Angulo entre rectas.

149

EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

159

1.39

VECTORES EN EL ESPACIO

160

1.40
1.41
1.42

Dirección de un vector en R 3.
Vectores Paralelos y Perpendiculares
Proyección Ortogonal. Componentes.

167
170
177

1.43

Combinación Lineal.

1.44 Dependencia e Independencia

Lineal.

181

1.45

Base y Coordenadas de un vector en R 3.

182

1.46

EL PRODUCTO VECTORIAL

187

1.47

Propiedades del producto vectorial.

189

1.48
1.49

Interpretación geométrica del producto vectorial.t
PRODUCTO MIXTO DE VECTORES. Propiedades e interpreta-

192

^

ción geométrica.

201

1.50

RECTAS EN EL ESPACIO.

209

1.51
1.52

Posiciones relativas de rectas en el espacio^
Distancia de un punto a una recta.

212
217

1.53
1.54

Distancia entre dos rectas en el espacio.
PLANOS EN EL ESPACIO.

219
223

1.55

Ecuación vectorial del plano.

224

1.56

Distancia de

229

T.57

Intersección de planos.

1.58

Angulo diedro entre dos planos. 1.59 Angulo entre

un punto a uli plano.

una recta y un plano.
1.60

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.

233
237
238

Conu'r.itio

1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67

Intersección de rectas y planos.
Vectoies de n dimensiones.
ESPACIOS VECTORIALES.
Subespacíos vectoriales.
Independencia Lineal.
Bases y dimensiones de un espacio vectorial.
Suma de subespacíos.

g

MATRICES

2.1
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10

Introducción.
2.2 Definición.
Orden de una matriz.
Tipos de Matrices.
Igualdad de Matrices.
Suma de Matrices. Propiedades.
Diferencia de Matrices.
Producto de un escalar por unamatriz. Propiedades.
Multiplicación de Matrices.
Propiedades de la Multiplicación de Matrices.

yjj

241
251
253
258
264
269
276

281
282
283
284
285
286
286
289
293

MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
2.11 Matriz Simétrica.
2.12 Matriz Antisimétrica.
2.13 Matriz Identidad.
2.14 Matriz Diagonal.
2.15 Matriz Escalar.
2.16 Matriz Triangular Superior. 2.17 Matriz Triangular Inferior.
2 18 Matriz Periódica.
2.19 Matriz Transpuesta.
2.20 Matriz Hermitiana.
2.21 MATRIZ INVERSA
2.22 Inversa de una Matriz Triangular.

305
306
307
309

2.23 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

327

Transformación elemental fila. Matriz Escalonada
Matrices Equivalentes. Rango de una Matriz.
Matrices Elementales. INVERSA DE UNA MATRIZ por el método de

310
314
316
317
319

VIH

Contenido

Gauss-Jordan.
2.24 Sistemas de Ecuaciones Lineales
2.25 Rango de un Sistema de Ecuaciones Lineales.
2.26 Sistemas Homogéneos de Ecuaciones Lineales.

343
351
359

[§) DETERMINANTES
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7

Definición.
Propiedades.
Existencia de los Determinantes.
Menor de una componentes.
Cofactor de una componente.
Cálculo de determinantes de cualquier orden.
Otras aplicaciones y Propiedades de los determinantes.
3.7.1 Regla de Sarrus.
3.7.2 Cálculo de determinantes mediante reducción a laforma escalonada
3.7.3 Propiedades Multiplicativas.
3.7.4 Rango de una Matriz. *
3.7.5 Adjunta de una Matriz.
3.7.6 Inversa de una Matriz.
3.7.7 Matrices no singulares.
3.7.8 Resolución de sistemas de ecuaciones de dosvariables.
3.7.9 Resolución de sistemas de ecuaciones en tresvariables.
3.7.10 REGLA DE CRAMER.

367
368
375
376
377
381
401
402
412
416
422
424
436
441
442
443

VECTORES
1.1

INTRODUCCION . Hace muchos años los griegos desarrollaron la
geometría elemental. Crearon una manera siste

aática de analizar las propiedades de los puntos, las rectas, las
triángulos, las circunferencias y otras configuraciones.

Todo su

trabajo fue sintetizado en "Los elementos de Euclides" , que
constituido las bases de la geometría plana y del espacio

han

hasta

nustros días. En tiempos recientes, se han agregado otros conjun­
tos de axiomas y postulados, cuyo efecto han sido mejorar la estructura lágica, pero, en esencia, la materia ha permanecido idén
tica. En 1637, el filésofo y matemático francés Rene Descartes re
voluciono la matemática de su época al crear la Geometría Analíti
ca introduciendo las coordenadas rectangulares, llamadas también
en su memoria, coordenadas cartesianas; logrando así algebrizar
las ideas geométricas de sus antecesores. LJL-i.á.ea_ua_eate - aátodo
consiste en traducir, nediante.un sistema de coordenadas, los con
ceptos y relaciones geométricos a conceptos y relaciones algebrai
cas, y viceversa. En este capítulo estudiaremos el método anlítico para lo cual precisamos familiarizarnos con el concepto de vec
tor, un instrumento de gran valor en la matemática moderna.
1.2

COORDENADAS RECTANGULARES
En estudios anteriores
de matemáticas definimos el producto
♦

cartesiano A*B, de los conjuntos A y B, como el conjunto de todos
los pares ordenados (x,y) en los cuales la p/iimena componente, x ,
es elemento de A y la segunda componente y, es elemento de B.
Por ejemplo, si A={2,3,5} y B={1,3), entonces:
A*B = {(2,1),(2,3),(3*1),(3,3),(5,1),(5,3))
Un conjunto de pares ordenados AxB se puede visualizar como una
red de puntos, tal como se indica en la Figura 1.

Vk.cto/L*ó

Come los pares ordenados de números reales sea elementos del prQ
ducto cartesiano R*R, a este conjunto se le denota por R 2, es dg
eir:
R 2 = RxR = {(x,y)/xeR , yeR}

Figura t

Figura 2

Obsérvese, en la Figura 2, que cada par ordenado (a,b) en R 2
se puede asociar en forma única con un punto P del plano mediante
un sistema de coordenadas rectangulares, al que se llama
* i*tema de coordenada* canteóia.no.

también

El asociar a cada par ordenado (a,b) un punto P se lleva a cabo
como sigue:
a) Por un punto que corresponde al número a sobre el eje horizon­
tal (eje de abscisas) se traza una recta paralela al eje verti
cal.
b) Por el punto que corresponde al número b sobre el eje vertical
(eje de ordenadas) se traza una recta paralela al eje horizon­
tal.
c) Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las
coordenada* (a,b). P se llama "la gráfica de (a,b)lf o simple­
mente "el punto (a,b)".
En adelante, a los elementos de R 2 los denotaremos con letras
mayúsculas: A,B,C, etc. Por ejemplo: A=(ax,a2), B-(bx,b2).
DEFINICION 1.

Dados dos pares ordenados A=(ax,a2) y B=(blfb2) en
R 2, la suma de A y B, denotado por A+B, está defi­

nido por:

3

Ve.c£o/ie~¿

A+E = (a i,a2)+ (bi,b2) - (ei+bi , a 2 +b2)
Se puedeobservar

que la adición de dos paresordenados

de núme­

ros reales es otro par ordenado de números reales.
Por ejemplo, si A=(2,~5) y B=(2,3)t entonces:
A+B = (2,-5)+(2,3) = (2+2,-5+3) =
DEFINICION2.

Dado un número real r, llamado

(4,-2)
escalar y el par or

denado A=(ai,a2), se denomina producto del escalar
r por A, al par ordenado:
rA = r(ai,a2) = (ralfra2)
Obsérvese también que rA^R2.
Por ejemplo, si r=-2 y A=(-1,3), entonces:
rA = -2(-1,3) = [(-2)(-l).(-2)(3)] ■ (2,-6)
PROPOSICION 1.1

Dados los pares ordenados A,B,CeR 2 y los escala­
res r,seR, se cumplen las siguientes propiedades

para la adición de pares ordenados y la multiplicación de escala­
res por pares ordenados:
Ai: Si A,BeR 2 -+•

(A+B)eR2

A 2: Si A,BeR 2 -*■ A+B = B+A
Aj: Si A,B,CeR2

(A+B)+C = A+(B+C)

A),: 5í0eR 2 /A+9 = 0+A = A, ¥AeR 2

(Clausura)
(Conmutatividad)
(Asociatividad)
(Elemento identidad para la
adición de pares)

Pi: Si reR y ÁeR 2
P 2: r(A+B)

-►

= rA+rB ,

P s: (r+s)A = rA+sA ,

rAeR 2
¥reR ,¥A,3 e R 2
¥ r fseR , ¥AeR 2

P*: (rs)A = r(sA) , ¥r,seR , ¥AeR 2
P 5 : 3 U R / 1 A = A , ¥AeR 2
A 5•: ¥AeR2, 3 l-AeR 2/A+(-A) = (-A)+A = 6

(Elemento inverso nara la
adición de pares)

Se recomienda al lector demostrar cada una de estas propiedades
haciendo uso de las propiedades respectivas de los números reales.

Ve.ctosie.4

4

El conjunto R 2 de pares ordenados de números reales, junto con
las operaciones de suma y producto definidas anteriormente recibe
el nombre de e.4 pac¿o vectorial tidiaie.nAÍonat sobre el conjunto de
los números reales R y se denota por V 2. A los elementos de un es
pació vectorial se les llama vectores; por tanto, podemos afirmar
que el par ordenado (x,y) es un vector.
1.3

VECTORES EN EL PLANO
Un vector en el plano es un par ordenado de números . reales

(x,y), donde x recibe el nombre de primera componente.(coordena­
da) e y se llama segunda componente. A los vectores en el plano
se les denota por letras minúsculas o mayúsculas con una flecha
en la parte superior. Por ejemplo: a , í , c , t. , S , etc.
Dado dos vectores en V 2: a=(xi,yi) y í=(x 2 ,y2), podemos definir
Xi = x 2
i) Si a = t

(Igualdad de vectores)

1 yx = ya
ii) a + S = (xi+x2 , yi+y2 )

(Def. 1)
(def. 2 )

i ü ) ra = (rx i,ry i)
jemplo 1 .
Solución,

Si a=(-2,3) y ?=(4»-1), hallar el vector v=2a+3?.
v = 2(-2f3) + 3(4,-1)
= (*4,6) + (12,-3)
= (-4+12 , 6-3)

(Def. 2)
(Def. 1)

= (8,3)
Ejemplo 2 .
Solución.

Hallar el vector x en la ecuación: 2(-1,2)+3x=(4,-5)
Supongamos que: x = (xi,x2)
-»■ 2(-1,2) + 3(xi,x2) = (4,-5)
+ (-2,4) + (3xx,3x2) = (4,-5)

-*■ (-2+3xi , 4+3x2) = (4,-5)
Por la igualdad de vectores se tiene:
-2+3xi = 4

«-*•

xi=2

4+3x2 = -5 ++ X2=-3
Por tanto, el vector buscado es: x = (2,-3)

(Def. 2)
(Def. 1)

Vectoneó

Ejemplo 3.

5

Hallar todos los números reales r y s tales que:
r U , - 6 ) + s(5,-2) = (7,6)

Solución.

(¿r,-6r) + (5s,-2s) = (7,6)

(Def. 2)

U r + 5 s , -6r-2s) = (7,6)

(Def: 1)

Por la igualdad de vectores:

4r+5s = 7
- 6r- 2 s = 6

Resolviendo el sistema obtenemos: r=-2 , s=3

1.4

REPRESENTACION GEOMETRICA DE U N VECTOR EN EL PLANO
Geométricamente un vector v=(x,y) se representa en el plano

mediante un segmento de recta dirigido o una flecha. La flecha se
llama vecto/i geomát^iico. Un vector veR 2 puede interpretarse como
•

►

una traslación descrita por un par ordenado de números reales
(x,y), la primera componente indica un desplazamiento paralelo al
eje X y la segunda un desplazamiento paralelo al eje Y.
Considerando que una traslación tiene un punto Inicial o de pa/iti
da S del plano, y un punto

inat o de llegada en T, cada vector

v=(x,y) tiene un número infinito de representaciones geométricas
en el plano, todas elljté son paralelas, de^ igual longitud- e igual
sentido.

(Figura 3)y '

La flecha asociada al par (x,y) que tiene un punto inicial en
el origen se denomina /iepne¿entación ondinasiia de (x,y) y se dice
que la flecha o vector tiene posición ordinaria o estandard.

DEFIÍJICIOM 3*

VECTOR LOCALIZADO
Un vector localizado en P.a es una pareja de puntos

Pi y P 2 que se indican con PiP 2 para los cuales Fi es el punto de
partida o inicial y P 2 es el punto de llegada c final (Figura ¿).
Si una flecha tiene coco
punto inicial a Piín.yi) y a P 2 (x2 fy2)
*
codo

punto final, entonces la flecha PiP 2 es una representación

geométrica del vector v=(xfy), donde:
(x Fy ) = (X2 -X 1 , y 2-y 1 )

(1)

Si consideramos a los puntos Pi y F 2como radio vectores entonces,
según la definición 3:
v = PjP2 =

*"*■ ? 2 =

(2 )

+ v
«

Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final
P 2 del vector v conociendo, desde luego, el punto inicial y las
componentes del vecor v.
DEFINICION 4.

VECTOR DE POSICION
Todo vector que tiene posición ordinaria, es decir,

al vector que tiene su punto inicial en el erigen se llama uecioe
de posición o ziadío vector.
Observaciones:
%

1.

El vector localizado PxP 2 es equivalente al vector de posi­
ción v=? 2 -?i. La ley del parlelograno hace evidente esta equi
valencia. (Figura 5)

2.

La notación P(x,y) identifica un punto en el plano y sus coor
denadas (x,y) identifican a un vector o a su representación

Figura ¿

Figura 5

Veciore*
Hallar el vector de posición de P 1P 2 si Pi(5»-2) y

Ejemplo 1

P 2 (2 ,3 ). Interpretar geométricamente el resultado.
Solución.

Según la definición 3:
= P l P 2 = ?.-?!

V

= (2,3)-(5,-2)
= (2-5, 3+2)

► x

= (-3,3)

Ejemplo 2.

Un vector que va de R(3,5) a S(x,y) representa al mi
mo vector que va de S(x,y) a T(8,1). Hallar S(x,y).

Solución.

Sean: a = R S = 2 - & =

(xfy)-(3,5) = (x-3,y-5)

t = ST = f - 3 = (8,1)-(x,y) = (8 -x,1-y)
Si a=1>

x- 3 = 8-x

(x-3.y-5) = (8-x, 1-y)

y-5=1-y

-*■

x=1 1 / 2
y=3

Por tanto, el punto buscado es: S(11/2,3)
Ejemplo 3.

En la figura adjunta se tiene:
OP=x 3 y OQ=x 2y. Si a=S, siendo

£=(y 3+19» 6+xy2). Hallar el valor de x+y.
Solución.

La.s componentes del vector a
son OP y OQ

+

a=(xs,x 2 y)

c3 = y 3+19

+

(1)

x 3- y 3=19

Luego, si a=S
x 2y = 6 +xy 2

x 2 y-xy 2 =6

+

(2)

Multiplicando por 3 la ecuación (2) y restando de (1) se tiene:
x 3- 3x 2 y+ 3 xy 2 - y 3= 1

(x-y ) 3=1

, de donde: x=y +1

(3)

Sustituyendo (3) en (1) obtenemos:
y 2 +y- 6=0

y= - 3

ó

y =2

Descartamos la segunda alternativa ya que en la figura dada, OP
es negativo. Luego, en (3): x=-3+1=-2
.\ x+y=- 5

r

Ve.ciosi&¿

o

EJERCICIOS
1.

2.

Dados: a=(3,-4), £=(8,-1) y c=(-2,5), hallar el vector v si:
a)

v = 3a

- 2Í + c

Rp. v=(-9,-5)

b)

v = ¿a

+ ^(£-c)

Rp. v=(17,-19)

c)

v = 2(a-S) + 3c

Rp.

v =('-16,9)

Hallar elvector x en las siguientes ecuaciones:
a) 3(0,-2)+2x-5(1,3) = (-3,-5)
b) (15.-12)+2 (-6 ,5)+x

= ¿(1;-2)

*

Rp. x=( 1 ,-8 )
Rp. x=(|,-2)

♦

3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los
números reales r y s.
a) r(-2,3)-s(8, 1 ) = (16,15)
b) r(5,1)+s(-3f5) = (-2,8)
c) r(-2, 3) + s(4,-6) = (0,2)

Rp.

s=-3

Rp. r=1/2, s=3/2
Rp. ^r,s

4. Dados los vectores a=(3x-5,x-2y+2) y í=(x-y-2,3-2y), hallar
x e y de modo que: 3a=4b
5.

Rp. x=5, y=-9/2

Si a=(2m-3n,4n-m) y £=(2,-3), hallar los valores de m y n
que hacen que: a=5^.

Rp. m=-1, n =- 4

6 . SI vector v=(3,2) es el vector de posición del segmento AB,
cuyo punto medie es C(3,1). Hallar las coordenadas de los
extremos del segmento A3.
7-

Rp. A(3/2,0), B(9/2,2)

Sean los puntos ?(5/2,5), QO/3,13/4), R(-l6/5,7/2) y S(x,y)
Si PQ y RS representan al mismo vector, calcular el valor de
30x+80y
Rp. -21

8 . Sea v=(7,-ó) el vector de posición del segmento AB y C(-|,3)
el punto de trisección más cercano de B, de dicho segmento.
Hallar las coordenadas de A y B.
9.

Rp. A(-3,7), B(4,1)

Sean A(a,-2), ‘B(2,4)„ C(8,-3) y D= (x,y)/y=2x+1 . Si AB=GI))
hallar el valor de a-x.
Rp. 8

10. En la figura adjunta se tiene:
0P=x 3 y 0Q=6-x
Hallar a, si $=(9xy-y 3,y) y a=t.

o/

VectoneA
1.5

M AG NITUD DE U N VECTOR
Para cada vector v eR2, v=(x,y), existe un escalar o número

llamado nonma, módulo o magnitud de v, denotado por ||v||,

tal

que:
(3)

= /x 2+y 2
La fórmula (3) es coincidente con la

(x.y)

noción intuitiva de longitud de un
segmento derivada del Teorema de Fitágoras. La Figura 6 ilustra esta pro
piedad.
Figura 6

Ejemplo 1.

Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3)
B(-2,7).

Solución.

Si v es el vector que va de A a B, entcnces:
v = AB = 5-í = (-2+1f7 - 3 )

Luego, según ( 3 ) :

||v||

= (-3,4)

= / ( - 3 ) 2+ ( 4 ) 2 = 5

PROPIEDADES DE LA NORMA DE UN VECTOR EN R 2.
Nií ¥acR 2 , ||a||>0
N 2 : ||a||=0

a = 0

.

n
f

)

N 32 ¥teR , ¥ a e R 2, ||ra|| = |r|||a||
N*: ¥a,í>eR2, | |a+í| | ^||a|| + | |1>| |

(Desigualdad triang.)

Demostración de Ni:
En efecto,

si a=(x,y)

Si x^O e y^O

+

-*■

||a| | = / x 2 +y 2

||a|| ¿ 0.

Sabemos que si existe la raiz cuadrada de un número, esta
es positiva, por lo tanto,

||a||> 0 .

Demostración de N 2:
(-0 Si a =6
(«-) Si ||a||=0

a=(0,0)

-►

| |a| | = /O^+O 2 = 0

# ||a|| = / x 2 +y 2 = 0 . La igualdad es váli

si x=y= 0 , esto es, a = (0 ,0 )=0 .

||a | | = 0

«-*■

a =0

Vcctc

10
Demostración de N$:
En efecto, si a=(x,y)

*

ra=(rx,ry)

y ||ra|| = /(rx) 2 +(ry ) 2 * / r 2 (x2 +y2)
Por consiguiente i

1.6

= /r 2 /x 2 +y2

||ra|| * |r|.||a||

DILECCION DE UN VECTOR EN R 2.

A cada vector no nulo, v=(x,y)eR2, le corresponde una direc
ción dada por la medida del ángulo a (ángulo de dirección de v),
que forma el vector con el semieje positivo de les X, para el
cual:
Sena =

11*11

/x2*y

11*11

/x*+y

<*)

Cosa =
y 0o i m(o) í 360°.

De las ecuaciones (¿) se sigue que:
v = (x,y ) = ||v||(Cosa,Sena)

(5)

Por tanto, un vector queda determinadc por su magnitud y su di­
rección.
Observación.

La dirección m(a) del vectcr v se obtiene de la ma
ñera siguiente:

Mediante un ángulo de referencia ai y haciendo uso de una tabla
de valores se halla el valor de <xx con C°<s(ai)<90° para el cual
Tgai = ¡*¡ , x/C
Si x>C
x<0
x<0
x>0

P
P

y>0

a(a) = m(ai)

(Cuadrante I)

y >0

m(a) * 180°-ic(ai)

(Cuadrante II)

y <0
y<0

m(a) = 18C°+m(ax)

(Cuadrante III)

m(a) * 360°-o(ai)

(Cuadrante IV)

Desde luego, si x~0 pero y¿0, entonces m(a)=9C° ó m(a)»27C° res
pectivamente para y>0 ó y< 0 .
Ejemplo 2 .

Hallar la magnitud y dirección del vector v=(-3 ,¿).

11

Ve c.to/Le¿

Solución,

Según (3)» la magnitud del
vector v es:

llvll = Á - 3 ) 2 + U ) 2 = 5
Por las ecuaciones (4) la dirección
del vector está dada por:
Sena = 4
o
Dado que Sena>0 y Ccsa<0, entonces a está en el II cuadrante
Angulo de referencia:

Tgai = \~^\ - ^

ai = 530 8*

Por tanto:

m(a) = 180°-53o 8' = 126°52*

Ejemplo 3.

Expresar el vector v=(3,-3/3) en términos de su mag
nitud y de su ángulo de dirección.

Solución.

Según (3):

||v|| = /(3) 2 + (-3/3 ) 2 = 6

y por las ecuaciones (¿):
/"3
i
Sena = — ^ y Cosa = -g
Como Sena<0 y Cosa>0, entonces a está
situado en el IV cuadrante.
Angulo de referencia: Tgai = |^| = /3
de donde: m(ai)=60° + m(a)= 360 o- 60°= 300 °
Por tanto, según la ecuación (5):
v = 6(Cos300°,Sen300°)

1.7

VECTOR UNITARiO
Dado un vector no nulo v=(xry), llamamos vecto/i uniianio a

un vector u que tiene la misma dirección de v para el cual:
-+•
■+
V
x
%
y
u =
)
= ( ■y
-y
V
v

(6)

o bien:
u = (Cosa , Sena)
Ejemplo 4

Hallsr un vector unitario que tiene la misma dirección y sentido del vector v=(-3»/7)

SoluciÓn.

(7)

Según (3):

l|v|| = /(-3) 2 +(/7 ) 2 = 4

Vcctosie.*

12

* _ (-3,/7) _ ¡ 3
y por (6 ;: u ------ j-------( - 7 , - 7 )
Ejemplo 5 .

Hallar un vector de modulo 1 0 , que tenga la misma
dirección y sentido opuesto al vector que va de

S U , 2) a T(1,6 ).
Soíucíin.

~

Sea v=ST=$-§=(1-4,6-2) = (-3. ¿)
Un vector unitario en I b . dirección de v es:
. Luego, el vector tuscado es: v = -||v||u
v = (6,-8)

EJERCICIOS
En los ejercicios del 1 el i, se dan las coordenadas de los
puntos A y B. Expresar cada vector v=AB en términos de su
magnitud y de su ángulo de dirección.
1.

A (.-3,1) , 3(-5,6)

R. v=2/2(Cos135°,Sen135°)

2 . A(/l2,-3) , B(/27,-¿)

R.

v=2(Cos330°,Sen330°)

3.

A (5/3,4) , B(/4?,5)

R.

v=2(Cos150°,Sen150°)

A.

A(3/5>-/i5) » B(/2Ó,-/60)

R. v=2/3(Cos2A0°,Sen240°)

5.

Hallar un vector v cuya magnitud es igual a la del vector
.

.

a-“(4.,-3) y cuya dirección es la misma que la del vector
t - (1 l/5 )-

Hp. ? .

( |.^ 2 )

6 . Hallar un vector de modulo 10 que forma un ángulo de 37°
con eleje X positivo. (Sug. Cos37°=4/4)
Rp, v=( 8 ,±6 )
7.

Hallar un vector de módulo 15 que forma un
con el eje Y positivo.

(Sug. Cos53°=3/5)

ángulo de 53°
Rp. v=(-12,9)

S.jj^Hallar un vector que tenga la misma magnitud del vector que
* va de A(-2,3) a B(-5»4) y que tenga el sentido opuesto
vector que va de S(9.-1) a T(12,-7).

al

Rp. v*/5(-1,2)

9".?-Hallar un vector v de longitud 6/3 y que tiene la misma di­
rección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sen­
tido positivo del eje X.
Rp. v = (9,t3v^3)

Ve.ci.o/ie.6

13

OPERACIONES VECTORIALES
1.8

ADICION DE VECTORES EN EL PLANO

Dados dos vectores a y $ en R 2 tal que a=(xi,yi) y
$=(x 2 ,y2), definimos la adición del modo siguiente:
a+S = (xi,yi)+(x2 ,y2) = (xi+x2 ,yi+y2)
Por ejemplo, si a=(5,-7) y $=(-3,2), entonces:
a+$ = (5-3.-7+2)
= (2,-5)
PROPIEDADES DE LA ADICION VECTORIAL.

Si a,í> y c son vectores
en R 2, entonces se cum­

plen las siguientes propiedades:
Ai: (a+b)eR2

Clausura

A2: a + í = í

+a

Conmutatividad

A a: (a + í) + c= a + (S + c)
A*: 30 eR 2 , ¥aeR 2 /a+0=9+a = a

Asociatividad
Elemento neutro para la adición

A$: VaeR 2 , 3 (-a)eR2 /a+(-a)= (-a)+a = 0

Opuesto de un vector

Demostración de Ai:
En efecto, si a=(xi,yi) y Í=(x 2 ,y2 ), entonces:
a + .% = (xi+x2,yi+'y2 )
Puesto que la adición es cerrada en R
-► (xi+x2)eR

y

(Def. 1)

(yi+y2)eR

Por tanto: (xi+x2 ,yi+y2 )eR2
%

(a+b)eR2

Demostración de A 2: Consta de dos partes: Existencia y Unicidad.
Existencia.

Si a=(x¡,yi),

se tiene:

a + 0= (xifyi)+( 0 ,0 ) = (xi+0 ,yi+0 ) = (xi,yi) = a
Análogamente: 0 + a = a
Unicidad.

Sea 9i otro elemento de R 2 que tambiéncumple

a + 6i = 6 1 + a = a
Esta igualdad es cierta ¥aeR2, en particular si a=9, entonces:

u

Ve.cio/te.4

6 + 0i = 0i + 0 - 0
Análogamente, haciendo a= 6 i en Ai» se tiene que:
0 i + 0 = 0 + 0 i = 0a
Por lo que las dos igualdades anteriores prueban que
0i = 0
Se deja al lector demostrar las propiedades A 2, A 3 y

As haciendo

uso de las propiedades que cumple la adición en R.

1.9

REPRESENTACION GRAFICA DE LA ADICION DE VECTORES EN EL PLANO
Dados a y íeR2, la flecha que representa a la suma í+íl se

obtiene de la manera siguiente:
Representamos una traslación a lo largo de una flecha cualquiera
que represente al vector a=(xi,yj) seguida de una traslación del
punto final de esta flecha a lo largo de la flecha que represen­
ta al vector Í=(x 2 »y2 )* La traslación total correspondiente

al

vector a+t, es una flecha que tiene como punto inicial el del
vector a y como punto final el del vector í. (Figura 7)

En esta construcción los vectores a y b son lados adyacentes de
un paralelogramo y la suma a+b es la diagonal correspondiente.
La obtención de la suma de vectores siguiendo este procedimiento
recibe el nombre de te.y det payiate.togA.amo, que se ilustra en el
siguiente ejemplo.

V&ctonc*
Ejemplo 1.

15

Dados los vectores a = (-1,4-) y S=(3»2), hallar a+S y
construir una gráfica que muestre las representacio*

nes ordinarias correspondientes a los vectores.
Solución.

Por definición:
a+? = (-1+3,4+2)
= ( 2, 6)

Observemos que la flecha que va de S
a T representa al vector a y la fle­
cha que va de R a T representa a 1>.
(Por segmentos de paralelas)

DEFINICION 5.

NEGATIVO DE UN VECTOR EN R 2

Si aeR2, tal que'a=(x,y), se denomina negativo
inverso aditivo de a al vector:

o

-a = (-x,-y)
Por ejemplo, el negativo del vector
a=(-3 ,2 ) es -a=(3 ,-2 )
Observación.

Dado el vector aeR2,

su negativo -aeR 2 es
colineal, de la misma magnitud; es
to es: |-a|=|a|, pero de sentido o
puesto que el vector a.

1.10 SUSTRACCION DE VECTORES
Dados dos vectores a,SeR2, tal que a=(xx,yi) y í=(x 2 ,y2),
definimos la diferencia a-í> del modo siguiente:
a - í = a + (-Í) = (xi,y i) + (-x2 ,-y2)
a - í> = (xx-x2 ,yi-y2)
Ejemplo 2,

(8 )

Si a=(4,2) y S=(-3>3)> hallar la diferencia a-S y tra

zar una gráfica que muestre la representación ordina­
ria de los tres vectores.
óvluci&n.

Por definición:

a-í = (U, 2)-(-3»3) = (á,2)+(3,-3)
= U+3,2-3) •= (7,-1)

16

Vecto/ie¿

La representación ordinaria de cada uno de ios vectores se
muestran en la Figura 8 . Debemos destacar que, el inverso aditi
vo de (-3,3) es (3 ,-3 ) (negativo del vector í¡), que es colineal
de la misma magnitud que (-3 »3 ) pero de sentido opuesto.

y

La representación geométrica de a-S puede obtenerse aplicando
la regla del paralelogramo a la suma a+(-?>). La Figura 9 nos mu
estra otra manara de representar la diferencia a-^.
/■
y
(-3 ,3 )
X

J

L ' 2)

\

S

0
■

V
- o sa_D ^ -''i7 --1)
(3 ,-3 )

Figura 8

Figura 9

Observaciones:
1

Si a, S e R2, entonces la diferencia a-S satisface la condición
í+(a-b)«S, lo que explica porque algunas veces se dice que la
diferencia a*S ®^_el^vector^ que v.a de $ a^ a.

2.

El vector diferencia une los puntos finales de los vectores
S y a (Figura 9)-

3*

Si a, ícR2, son vectores no nulos, entonces a-S ¿ S-a

Ejemplo 3.

Sea x un vector tal que (3,-i)=x+(1,-6 ). Si
(3,-2 )=tx+r(-1 ,1 ), hallar el valor de 3 r+ 6t.

ScCución.

En la primera ecuación se tiene:

(3,-¿)-(1,-6) = x + (1,-6) - (1,-6)
+ (3-1,-4.+6) = x + 0
+ (2,2) = x
Luego, si (3,-2) = t(2,2)+r(-2 ,1 )

+ (3,-2) = (2t+2r,2t+r)
Por igualdad de vectores: 3=2t+2r y -2 =2 t+r
Resolviendo el sistema obtenemos: r=- 5/ 3 y t=-l/6
•\ 3r+6t = - 6

(AJ

17

Vcctoneó
\

Ejemplo 4.

Dados: a=(-2,2), ?>=(3,-2) y c=(-1,l), resolver la ecuación: 3 a - 2 [3 (t>-2 c) + 2 aJ + 3x = 2 c + x.
Restando 2c+x a cada extremo de la ecuación dada se

Solución *

tiene:

3a-6(S-2c)-4a+3x-(2c+x)

= (2e+x)-(2c+x)

-a-6l>+1 2 c+3x- 2 c-x = 0
de donde: 2x = a+6Í-10c = (-2,2) + 6(3»-2)- 10(-1,1)
= (-2+18+10 , 2-72-10)
= (26,-20)
••

Ejemplo 5.

x = (13,-10)

Mediante segmentos orientados demostrar la propieaad
Aa: (a+S)+c = a+(S+c).
1

De.mc¿¿/iación,

En efecto, sean los segmentos orientadas:
PT = a , TS = S , SR = o

PR = x

Por la interpretación gráfica de la
suma de vectores se tiene:
En el APTS: P S = P T + TS = a

+ í>

En el ATSR: TR = TS + S R = í ¡

+ c

En el ¿PSR: PR = PS + SR
-*■ x = (a + S) + c
En el APTR:

(1 )

PR = PT + TR
x = a + (S + c)

(2 )

Por tanto, de (1) y (2) se sigue que: (a+í) + c = a+*($+c)
Ejemplo 6.

Sean a=(-2,3) y í=(4-,-3). Un segmento dirigido, que
2“* 1^
representa a (•ja--gb) tiene por punto inicial

S(5,-3/2); hallar el punto final.
Solución,

Sea T(x,y) el punto final del segmento ST.
Si ST = |a - g1> -►

Entonces:

(x-5.y + 4)

= (-2,í)

Í-S = §(-2,3) - gU,-3)
x-5 = - 2

{

-►

y+3/2 = 5/2

Por tanto, el punto final es:

T(3»1)

x=3

=1

!/ecto*.e.¿

18
Ejemplo 7.

Se tiene: 2(2,-3)+c = (3,-5)+(a,7) y c está sobre la
recta L:y=x+2. Si A(3.5) y B(-2.6), hallar el punto

P tal que PC = -AB.
Solución,

Si ceL

+
-

e=(x,x+2)
2(2,-3) + (x,x+2) = (3» "5) + (a+7>
x = a- 1

{

x +2 = 8

Luego, c=(6 ,8) . Si P(xi,yi) y PC=-AB

-►

x =6

c-P = -(B-A) = A -B

6-xi = 5

(6-xi,8-yi) = (5.-1)

'*“*■

8-y i = -1

*

xi=1

-*■ y =9

p(i,9)
Ejemplo 8

Los vectores a,S y ceR2, cumplen que: a+2 Í=c y
a-3Í=2c. Siendo a un vector unitario, hallar la ñor

ma de ?>+c*
Solución•

De las ecuaciones dadas se tiene

a = c-2$
a = 2c+3Í

Luego,

c-2Í¡ - 2c+3Í

= -5$

Sustituyendo en (1) obtenemos:
Entonces:

í>+c = -^a

% ~ - -^a

ií+cii = 4 ii¡n

Como a es un vector unitario

Ejemplo 9.

(1)
(2 )

=1

•*

|í+c

¿
7

En la figura adjutíta se tiene:
5 y 0L=27/2
OM = |x
.

Si a=(2x3»lx 2 +4y2) y $=(^xy2, - -|xy), hallar
x-y de modo que:
Solución•

* x

2 s = (-j)a-2 o.

Las componentes de s son OM y ÓL + s

27

Luego: 2(|x,¿|) = ^(2x3,¿x2 U y 2) - 2 (^xy 2, - -|xy)

<5x,27) = (|x9- |xy2, j x 2+ j y 2+ |xy)

5x = | x 3 - ycyz
27 = -|x2+ *|xy + -|y2

Ve.cto/ie.4>

19
( 1)

if = (x+y) (x-y)
= (x+y)z

+

(2 )

(x+y) = ¿

Sustituyendo (2) en (1) se tiene:

¿(x-y) =

12
2

x-y = |
B
Ejemplo 10.

Sea el exágono regular.de lado a,
mostrado en la figura.

Al sumar

BA, AC, DC y AE se obtiene un vector s; hallar
la norma de s.
Solución•

Por geometría elemental sabemos
que Jl$=r=a y ¿ 3=r/ 3 * entonces:

||AC ||=||AE||=a/J , por ser lados de un
triángulo equilátero.
Trasladamos los vectores indicados a un
sistema bidimensional con origen en A cu
yo eje X siga la dirección de AD, y apli
cando la ecuación (5 ) tenemos:
BÁ =

|1BA | |(Cos240o ,Sen2¿0o )= aí-j,*^)

AC =

|1AC ||(Cos30°,Sen30°) = a / 5 ( ^ ,

= a <f '^

DC =

||DC||(Cos120°,Sen120°) = a(- ~ ,

)

¿1 =

||ÁE| |(Cos330°,Sen330°) = a/5(¡^| , - \ ) = a(|

Luego,

,- &)

s = BA + AC + DC + AE = (2a,0)
.% Ilíll - 2 a

Ejemplo 11.

En la figura adjunta se tiene:
IIa I I=3.

M $ | | = 2 ||c||=2 /ÍÓ ,

Tga=l/3 y Tg8=3. Hallar el valor de m de mo
do que:
■* J
*
ma
+_ 3oí
b = nc
Solución,

Si Tga=1/3
Tg6=3

+

Sena=1//Í0
SenB=3//10

y
y

Cosd=3/*/T0
CosB=1//Í0

Un vector unitario en el sentido de a es (1,0)

a=3(1,0)

Ve.ct.OA*ró

2C

S = ||S| |(-Cosa,-Sena) = 2/TÜ(-3//T?J,-1//Tü) = (-6,-2)
c = 11 c| |(CosB.Senfí) = /Tü( 1//TÜ*, 3//TU) = (1,3)
3m - 18 = n

Entonces, si m( 3 #0 ) + 3 (-6 ,2 ) * n(l,3)
Sustituyendo en (1) obtenemos:
Ejemplo 12-

(1)

0 - 6 * 3n -► n =-2

m-16/3

En el gráfico se presenta una
pirámide regular cuyas aristas

laterales miden 2a.

Si el lado de la

base

cuadrada mide a, calcular: ||?i + falJ.
Solución..

En el plano BVD se tiene:

fi = BP + PV
?2=DP+PV=-PD+PV=-3P+PV
Luego:
-

+ f* = 2PV -► ||?i + ?a|I = 2| |PV||

1 I?» + f.l I - 2 h = 2 A z I y T ^ y

de donde: ||?i + ? 2 || - a/TZ
Ejemplo 13.

La figura adjunta es un tetrao
dro regular de arista a, M es

ci -unto medio de AC- Si s=vi+V2+V 3+v*, ha­
llar la norma de s.
Solución.

En el ABVC: CB = v* + v 2
En el AAVM: AM = vj + íj

Efectuando la suma se tiene: s = C B + A M = C B + M C = M B
*** IIa I | = ||MB |I (Altura de un triángulo equilátero de lado a)
-

Ejemplo 1^.

Ilsil

=

En el

triángulo ABC, M es un

punto

de ÁC tal que ÁM = ^MC

Si la norma del vector BM es 2, hallar la
norma del vector:
v = 2BÁ + 3BC.
»

Solución.

En el AAMB: BÁ=BM-ÁM = BM - |mc
En el ABMC: BC = BM + MC

21
Luego:

v = 2(BM - ^MC) + 3(BM + MC), de donde:

v = 5BM

/. I Ivf | = 51 |BMI I = 10 '
Ejemplo 15.

En la figura adjunta, el trián­
gulo OAB es isósceles con 0A=AB

y PH es perpendicular a 0B y mide 6 unidades
Si I IAQI |=21 |QB||, hallar ||PQ| |.
Solución,

Sea 0H=x

+

P(x,6 )
OM
OH

AM
PH

AOMA * AOHP

Además: AB = í-t = U , 0 ) - ( 2 , 8 )
Si I|AQI|= 2 ||QB||

-

x

= (2,-8)

ÁQ = |ÁB = |(2,-8)

PQ = PÁ + AQ = ( ^ , 2 )

IiPQl I = 4
Ejemplo 16.

z

2

PA = Í-? = (2 ,8)-(|,6 ) = (^.2 )

Luego: P(^
( 1 . 6)

En la figura:

8

+ |(2,-8)

= - g( 11f - 2 0 )

1
2
/5 2 1
/(11 ) 2 + (-2 C)

La figura es un prisma rectan­
gular- de altura 3 h y sus bases

son triángulos equiláteros de lado 2h. P es
punto medio de AB, Q es punto medio de FE ;
hallar la norma de PQ.
Solución,

Si por P trazamos PM||BC, entonces:
I |PM|| = 1 \ |BC|| = h

Por el teorema de Pitágoras:

||PQ||a= I|PM | | 2 +| |MO | |

+ I |PQ | | 2 = h 2 +(3h ) 2 = 10h2
Ejemplo 17.

II PQ I I =’ h/TO

En la figura adjunta, si P
es tal que el área del trián

guio APC es el doble del área del trián­
gulo CPB; hallar ||CP||.
Solución,

Por geometría elemental sabe
mos que:. a(AAPC) _ AP x PC _ AP _
a(ACPB)
PB x PC
PB

Victo**.*

22

de donde:
♦

£ - 1 = 2 (S - £)

AP * 2PB

(xU.y-2)

= 2(2-*, 10-y)

y -2 = 2(10-y)
Entonces: CP *

* (0,-2— )-(2,2) * ^(-3,8)

Por consiguientes

11CP11 = ^ /(-3) 2 +8a 3 ^ /73

Ejemplo 18.

y=22/3

Si ABCDEF es un exágono regular
cuyo lado aide a unidades,

cular el valor de:

Solución*

x=0

x+4 ® 2(2-x)

cal­

| |*jAE + ^ 5 f ||.

Trasladando los vectores a un sis
tema cartesiano de origen A y eje

X sobre AD, tenenos:

- ■£)

ÁÉ = | |1É| |(Co8330°,Sen330°) =

.*

F _ = §(3,-/3)

CF = ||C?||(Cos2A0o .Sen2AQ°) = 2a(--|, - ^ )
-

CF = a(-1,-/3)

Luego:

-^AE + ^CF = ^(3,-/3) + ^ a ( - 1,-/5) = -g( - 1, - 5/3)
5/3)2 = | /T3

Ejemplo 19.

En el rombo de diagonales D
y d tal como se indica en

la figura,

hallar la norma del vector:

V - V j

+ V 2 + V , +

V %

donde los vectores v 1, v a, v 3 y

llegan

a los puntos medios de los lados del rom
bo.

Solución.

p <
j
I
k

Considerando un sistema cartesiano con sus ejes X e 1
sobre las diagonales PR y SQ, respectivamente,

mos:

vi = Rí - ? - í «

vi

teñe-

I

PQ

v«

'-i ’ - f r K

Vzc tone.*

23

/D
d\ - (o
= QH = Í - $ - ^
-)
’~ v
2
-»•
Luego: v * Vi + V 2
V3
Vi, = (0 ,-d)
v

.

,

«i

- f a,

• t i tV 1 I = d

EJERCICIOS
^
4a
2
En los ejercicios del 1 al $, si a,o y c son vectores en E ,
«

^

demuestre la validez de cada afirmación.
1.

a + S = í + a

(Propiedad conmutativa: A 2)

2.

a + (-a) = (-a) + a = 0

3.

Si a + í = c

l,

Si a + S = S

->- a = 6

5.

Si a + í = 0

+■

(Inverso aditivo: A$)

a = c - í>
a =

(Unicidad del‘idéntico aditivo)
(Unicidad del inverso aditivo)

6 . Mediante segmentos orientados demuestre la oropiedad k 2i
a+S = % + t .
7.

Dado el triángulo ABC, demostrar que: AB + BC + CA = 6 .
(Sug. Usar la def.3: AB=§-Í)

8 . Dados los vectores a=(5»2), 1>=(-3»A) y c=(7,¿); resolver la
ecuación: 2 x tpa - 3% = 4c.
Rp. x=(- 3 >9 )
9.

Sea x

un vector en R 2 tal que: (-5,2)=2x+(1,-8 ).

Si (-5»3)=tx+r(2,-1), hallar el valor de 2t+r.

Rp. -2

10. Dados los puntos A(5,1)> B(-2,3), C(-3»-2) y D(1,-4); deter­
minar el punto X(x,y) de modo que: 3AB-XD = 3AX - ^CD + BC.
Rp. X (-2,17/2)
11. Se tiene 2 [(5,-1)+?J =3( 1 ,3 )-(-1, a). Si A(2,3), B(3,-1)

y el

punto final del vector c, en posición ordinaria, está sobre
el conjunto P={(x,y)/y=x2 -1); hallar las coordenadas de un
punto P tal que: AP+2PC=AB.
Rp. p(-9,9)
12. En el exágono regular ABCDEF, de lado a,
hallar la norma de s, sabiendo que:
s = §(AD + ¿DE) + ^EB.

Rp. -2a

Ve.ctoA.A-6

Siendo a=(5,-2), í=(2,-5) y c-( 3 , 1 ), hallar un vector uni
tario en la dirección y sentido de v=2 a- 3Í+ 4c.
Rp. ♦
U = /
(- 8 , 15
17 )
La base de la pirámide regular de la fi
gura es un exágono regular de lado a.
Si VÁ=VB=VC=VD=VÍ=VF=bF hallar la norma
de s, si s = VÁ+VB+VC+VD+VÉ+VF.
Rp. 6»/b2 -a 2
Dados los vectores a=(-5#2) y 1>=(3»-¿}f hallar un vector u
nitario de sentido opuesto al vector a^í.

Rp, u=(</5»-3/5)
0, 8)

En la figura adjunta, P es un punto tal
que el triángulo de área Ai es tres ve­
ces el área del triángulo de área A 2 .
Hallar la norma del vector v.
Rp. ¿ /T 7

(-6, 0)

Los vectores a,1¡ y c en R 2, cumplen que: 2a-3Í=c y 3a-2Í=5c
Siendo a un vector unitario, calcular la norma de b-c.
Rp. 2/13
Se ¿lene un prisma rectangular de altura

2 h y cuyas bases son triángulos equiláte­
ros de lado h. Si A y B son puntos medios
de PQ y RS respectivamente, hallar ||AB||
Rp. | /T7
En la figura adjunta, OABC es un cuadra
do* P#Q»R y S son puntos medios de I 0 3
lados OA,AB,BC y CD respectivamente. Ha
llar ||ST + BH|| si T es punto medio de
PQ y H es punto medio de QR.

Rp; 2/2

Sean a y t vectores en R 2 tales que í> es el opuesto de a.
Si í> tiene el mismo sentido que el vector c=(-1/3,1/4) y la
norma de a es 5, hallar el vector x=2S+a.

Rp. x={-¿,3)

Vectoee*
1.11

25

MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Dado un vector v=(x,y)eR 2 y un escalar reR, el producto

del escalar por el vector es otro vector rv para el cual:
rv = r(x,y) = (rx,ry)
La magnitud de rv es ||rv¡|= |r|||v|| y su dirección es la misma
que la de v, aunque su sentido puede ser opuesto, es decir, los
vectores v y rv son paralelos.
Nota.

Al vector rv se denomina máítipío e¿ca¿ae de v.

REPRESENTACION GRAFICA.

Según que r sea positivo o negativo la
/
gráfica de rv puede ser:

*■x

r>0

r<0

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
SÍ a y 5 son vectores en R 2 y r,seR (escalares), se cumplen
las siguientes propiedades:
Mi: raeR
M 2 : (rs)a := r (sa)
M 3 : la = a
•f
M* : ra = 0 ++ r = 0 ó a= 9

Clausura
Asociatividad
Neutro multiplicativo

.

-a
M 5 : - la = ■
+
M 6: r(a+£) = ra + rS

Cero multiplicativo
Inverso aditivo
Distribuidad respecto a
la adición de vectores.

+
+
(r+s)a = ra +■ sa

Distribuidad respecto a
la adición de escalares

M 7 : llrall = Ir |. Ma||

Magnitud respecto a múl
tiplos escalares.

26

Vecto/ie.¿

Demostración de M c:
i) Si reR y a,$eR2, tal que a=(xi,yi) y $=(x 2 ,y2), demostraredos

que:
r(a + $) = ra + r$
r(a+$) *. r[(x 1 ?yx) + (x2 ,y2)3

En efecto:

= r(xi+x 2 , yi+y 2 )
= [r{xi+x2) , r(yi+y2)J
= (rxi+rx 2 # ryi+ry2)
= (rxx # ryx) + (rx2 t ry2 )
« r(xx , yx) + r(x 2 , y2)
= ra + r$
ü)

Si r,seR y aeR2, tal que a=(xxtyx) demostraremos que:
ra + sa = (r+s)a
En efecto:

ra + sa = r(xi,yi) + s(xx,yi)
= (rxx » ryx) + (sxx » syx)
= (rxx + sxx » ryx + syx)
= [(r+s)xx , (r+s)yx3
* (r+s)(xx , yi)
= (r+s)a

1.12

VECTORES PARALELOS
Dos vectores a y $, no nulos, son paralelos o proporciona­

les si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro,
es decir:
a | |b

a = rb , -VreR

(9)

Observaciones:
1.

Si r>0 y $ 7*0

-*■ a y r$ tienen la misma dirección y sentido.

Si r<0 y $ 7*0

■*

a y r$ tienen la misma dirección y sentidos

opuestos.

$
a - r$
r >0

O
a = r$
r <0

21

VeotcACM
2.

Es conveniente establecer que el vector nulo 3 es paralelo a
todo vector, esto es:
0 | |a
En efecto,

3-

si 0||a -+

óa||G

0 = ra = Oa

, VaeR 2
(OeR)

Todo vector es paralelo a si mismo.
En efecto, si 1eR

Ejemplo 1.

-+■ a = 1a , por lo que: aj|a , VaeR 2

Determinar si los vectores dados son paralelos.

1 ) S = U , - 1 ) ,$=(- 1 2 ,3 )
2 ) $=( 3 ,-6 ) , $=( 1 ,2 )
Solución.

1) Si a i J$

->•

U , - 1 )=r (-12, 3)

r=-l/ 3

[-1 = 3r - r=-1/3
Cono r es único y r<0, a y $ son paralelos, tienen la misma
dirección y sentidos opuestos.
2) Si a|¡$

-

[ 3 = r
r=3
- 6=r -*■ r = - 3

(3.-6)=r(1,2)

Como r no es único ■+• aJsfí, es decir, no existe ningún reR que
cumple (3,- 6 )=r(1 ,2 ), pues esto implicaría que 3=r=-3» lo que
es imposible.
Ejemplo 2.

Demostrar que si a.SeR2 son vectores paralelos y o¿6
entonces existe un escalar r para el cual se ¿lene:
a = rí¡

de.moMtAao.L6n.

>"
En efecto, sean a=(xi,yi) y Í=(x 2 ,y2 )> y sean ai
y a 2 los ángulos

de dirección de a y d respectiva

mente. Según las ecuaciones (4)

se tiene:

Senai = —
—
I !a * '

,

ya
Sena2 = — ~=—
b| I

,

Cosai =
Cosa 2 .
=

Xl
X2
Mb

Como por hipótesis a es paralelo a S, entonces:
m(aj) = in(a2)

ó

m(ai) = m(a2) ± 180°

Vecione.4

28
de donde se deduce que:

X\ ^ I ^ I x t
ii^ii +

»

yi~

^ ^ y2
-Ubi!

Por hipótesis ||Í|1^0t por lo que
xj = rx 2

entonces:

Luego:(xi.yi) * r(x 2 iy 2);
Ejemplo 3.

»

o sea:

+

a llc*

En efecto, si a ¿8 y £¿0 . entonces:
a = rS /reR

i) a| |S
ii) S||c

*► t = se

a = r£ = r(sc) = (rs)c

Ejemplo

a = r£

Demostrar que si: a||í « £j|c y

Dcmo^ÍJLac¿6nP

Luego,

j
¡ es un nóaero real r,
'Ü l ‘
» yj - ry 2

/seR

+

a||c

Demostrar que si 3=$+c y í| |a, entonces:
3 1 |a

í)e.mc¿t/iu$Í6n.

++

c||a

(-►) Supongamos que 3||a

-*■ 5reR/ a=ra

Pero por hipótesis: S[ |a

3 seR/ í=sa

Luego, si c=*3-Í=ra-sa=(r-s)a
(*■) Análogamente, supongamos que:
Pero por hipótesis t||a

*

c||a

■+• c||a

-*■ 3tcR/ c=ta

3aeR/ £=sa

Luego, si 3=£+c=sa+ta=(s+t)a

-*• 3|¡a

%
*

Ejemplo 5.

Si a=(1-2o,1) y £=(-7,ta+2), determinar los valores
de m, de moso que a sea paralelo s S.

Solución, Si a| fí

■**

3reR/ a = r£

*> (1-2m, 1) = r(-7,n+2)
[l=r(c+2 )
Al dividir (1) entre (2) obtenemos:
de donde:
m = - 3 ó m= 3 / 2

(D
(2 )

2h 2 + 3!d-9=0

-4

Ejemplo 6,

Si a=(1,18) lo expresamos como a=x+y, donde x||£ e
y | | c » Si £=(-1,4.) y c^(2a,3m), hallar el vector x.

Solución,

Si x||£
y ||c +

x = r(- 1 .4,)
y = s(2m,3m) =sm(2,3) = t(2,3)

Vectone*

Luego, si a=x+y

♦

29

(1,18)=r(-1,¿)+t(2,3)

^ 1="r+2t

1

(D
(2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos: r=3 y t=2
$ = (-3.12)

Ejemplo 7.

Se tiene que: a=(m,2m)f a-í=(2m,p), S||a y la norma
de a-í> es 20. Hallar la norma de í.

Solución.,

Si í||a

->■ $ = ra = r(m,2m) = mr(1,2)

a-í = (2 m,r)

(1)

(m,2 m)-mr(l,2 ) = (2 m,p)
-*■

(m-mr,2 m-2 ) = (2 m,p)

Por igualdad de vectores: m-rm = 2m f de donde: r=-1
Luego, en (1):

í = -m(1,2)

||í|| = m/J

+

Además: a-í = (m,2ro)+m( 1 ,2) » 2m(1,2)
Si ||a-í||=20

2m/5 = 20

(2)

||a-b|| = 2m/3

m=2/5 . Finalmente en (2):

lltll- 10
Ejemplo 8.

El vector a=(3,0) se descompone en dos vectores í> y
í paralelos a los vectores (2 r t - -jr) y (p,-3p)

reja

pectivamente, donde r^O y p^O. Hallar la longitud de í y í.
Solución.

Si í||(2r,--|r)
c| |(p,-3p)

Si t = t + c

-

+
+

í = ^(4,-3) = s(4,-3)
c = p(1,-3)

(3 ,0 ) = sU,-3)+p(1.-3> -►

| 3=‘4s+P
t0=-3s-3p

Resolviendo el sistema obtenemos: s=1 y p=-1
Luego:

í = (4,-3)

*

l|í|I = /(4) 2 +(-3)a = 5

c = -(1-3) = (-1,3)
Ejemplo 9.

-

ilcM = /(~l) 2 +(3 ) 2 = /Tü

Dados los vectores a=(2a,2), o=(6 ,n), c=(c,3n). Si
a||í||c, calcular el valor de an+c.

Solución.

Si a |\t

a = tí

-►

(2a,2) = t(6 ,n) -*-*■ X ^ a ~ ^
[ 2 = tn

Eliminando t del sistema obtenemos: an=6
Si í||e

•+ í = re

-»* (6 ,n) =r (c, 3n)

de donde: r=1/3 y c=18. Por tanto:

(6=rc)
an+c = 24

(n=3rn)

Ve.ctcAe.4

Si o=(/5,-/2ü) y c=(/TZ,/5); hallar | |v i | |. | |v 2 ||,

Ejemplo 10.

siendo vi||í, v2 ||c y vi+v 2=(-7,4).
Solución .

Si Vj||í
v 2 ||c

ntonces, si:

+

Vj - s(/5, -2/5) - s/5(1»-2) = t(l f- 2 )

->

v 2 = k(2/3,/3) = k/3(2,l) = r(2,l)

Jt+2r = -7

t(1,-2) + r(1,2) = (-7,4-)

[-2 t+r = í
Resolviendo el sistema obtenemos: r=-3 y t=-2
Luego:

|I vi|| = ¡-2 |/{1) 2 + (-2) 2 = 2/5

v a = -2(1,-2)
V*

= -3(2,1)

I | v a I I = 3 / ( 2 ) 2+ (1) 2 = 3 / 5

0

40

Ejemplo 11,

V2

Vi

= 30

La figura adjunta es un octaedro
regular de

arista a en donde

ac­

túan los vectores vj , v 2 , vv33 ,,vi* y v 5. Ha, **■ , ■*
llar |)s || si, s = vi + v 2 + v 3 + Vi* + v 5•
Solución ,

Los vectores v¡ y v 3 son paralelos
+ v¡ = -v 3

y de sentidoopuesto"
Además:

OA = n + v s
44

Ejemplo 12.

s - v 2 + OA = AB

+

11*11 = |¡Á3¡I = a

En la figura se tiene un exágono
regular cuyo lado nide a . Si
=

I

!

?

3

I

M

I

M

M

I

Í

S | | =

||s ||, donde: b = f, * t 2 + ?, + f
Solución.

a, hallar
+ * 5*

Fi=r i* y í 2=í 3 por ser paralelos y

de la cisma magnitud, dirección y
sentido. Entonces:
s = 2?i + 2Í 2 + f 5
Trasladando estos vectores a un sistema de
ejes rectangulares se tiene:

fs

= a(Cosí 80°,Sen180°) = a(-1,0)

Luego, 1 = 2a(0,1)+a(1,/3)+a(-1,0) = a(0,2+/3) * |!s||=a(2+/5)

r

?2 = a{Cos60°, StíJibG0) - a(^ ,

i

?i = ¿(Cos90°,Sen90°) = a(0,1)

Ve.ct

31

EJ ERCI CI OS
1.

Demostrar que:

a||c , í| |c y c?¿0

2.

Demostrar que para vectores no nulos

a||t
a, ai , t

a| |ai f t||ti y a||t

+

• ti :

ai||ti

3- Demostrar que si a y í tienen la misma dirección entonces:
lia + t|| = l|a|| + ||t||

4* Si £=(2,2m-3) y t=(1-m,-5)» determinar los
modo que a sea paralelo a t.

valores de m
Rp.

de

m=-1 ó m=7/2

5* Si a=(m, 5) + (3» 3) > t=4-(-m,-3)-2( 1,2) y aj |t; determinar el va
lor de c.

Rp.

m=2

6 . Dadcs los vectores a=(a,3m) y t=(-2m,b). Hallar.a+b de modo
que a+S=(8,-¿) y sea a||t.
Rp. 5
7. Sean los vectores a y í; a=(af2a), a-S=(2a,p), S||a y la ñor
ira de a-t e 3 /112. Hallar ||t||.

Rp. 2/7

8. El vector a=(xpy) es paralelo al vector t=(2,4-)# tal que:
u =

, —^*) es un vector unitario paralelo a ambos. Hallar

✓3

/5

el vector a.
9.

Rp. a=(±1,+2)

Sean a y í dos vectores en R 2, tales que t es el inverso adi
tlvo de a. Si t tiene el mismo sentido que el vector
c =(-1/3»1/4)

y ||a||=5f hallar x=a+2t.

1 0 . Hallar la norma de la suma de

Rp. x=(-4,3)

los vectores unitarios u y v ,

si u||a y v|¡t sabiendo quea=U,-3) y t=(-5,0).

Rp.

/7Ü/5

11. Los vectores a y t son tales que a es del mismo sentido que
b, - 4 — = ( - ^ ,
Maii
m
*05

y £=(1.3). Hallar 2x -

Rp. 1
2

12. En la figura adjunta tenemos un cubo y como
,!techo” una pirámide regular, todos de aris
+ a a. Si s = DE + H
la norma de s.

+ KC + HC + FG, hallar

G
B

Rp. a
»
«A

32
13. £1 vector e*(2,-1) es expresado coao c=a+$, donde los vecto­
res a y t son paralelos a xs (3v»4i) e y=(-3n»-n), respectiva
nenie, siendo n/0 y n¿0. Hallar a-$.

Rp- -¿(48,31)

14. En la figura adjunta, sea 0 la inter­
sección de las diagonales de un cua­
drado ABCD. Si 0 es el baricentro del
triángulo Isósceles APD con ||i£||=
I |FÉ>I |. Hallar Ifij.
Rp. HQ-(1/2,-3/2)
15* Dados los vórtices consecutivos de un paralelogramo A(7,-1),
B{-3*1) y C(-5.5). Determinar el cuarto vórtice D y la longi
tud de la diagonal BD-

Rp. D (5* 3) » 2/T7

16* La figura aostrada es un paralelogramo
rectangular donde

||£E*|i=¿a,

||AGjJx6a* Hallar

||s|| si:

i |AF| |=3a

s * XB + 0G + ÁB *AF
Rp. 13a
17. Si a*(a,b) y $*(1/2,-4/3) son dos vectores en R 2. Hallar a+t
si II• Il=(l/3)/73 y si a y $ tienen sentidos opuestos.
Rp. 5/3
18. En la figura ABCD es un cuadrado de
lado 3a y A ,B ,C ,D I es un cuadrado
de lado a, si |(D rD 1 1 h a l l a r B rQ.
Rp. B*Q = ^(a,-a)

19. La figura representa un prlssa super
puesto a un cubo,

si todas las aris­

tas son de longitud a y si:

s = fe +

cb

+ I b a + Im ♦ Ig c

Hallar el valor de ||s||2.
Rp.

+ /5)a

33

t/e c¿ o sie ¿

1.13

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Dados los vectores a=(ai,a2) y í>=(bi,b2)» el producto esca

lar o interno de a y í se denota por a.í, y se define por:
( 10)

a •S = (fli>32)*(bi,b2) — 3 ib i + a 2b
Observaciones:

i) El producto escalar de vectores es una operación cuyo resul
tado es un escalar y no un vector.
ü)

Si t,$eRn , entonces:
Í.S = aibx + a 2 b 2 +

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR.

n
+ a^b = 2- a ,b.
n n
i i

Si a,1> y c son vectores en R 2
y reR es un escalar, entonces

se cumplen las siguientes propiedades:
Conmutatividad

Ei: a.S = í.a

Asociatividad escalar

E2: r(a.í) = (ra).S
E 3 : c.(a+c; - c.a + c.b

Distribuidad
( a + S ) .c = a.c + S . c
-»■
En: a.a =
a | | 2*0
Magnitud respecto al producto escal.
Es: a.a = 0

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR EN R 2
Sean a y $ dos vectores y a-S (el vector que va de B a A). Si a
es perpendicular a í, ocurre que la representación geométrica de
los vectores a,S y a-í es un triángulo rectángulo, para los cua­
les, por aplicación del teorema de Pitágoras se tiene que:
i-t\

z _

a

+ iiti

(a-S).(a-É) = ||S||2 + ||S||2

(En)

+■ a.a - a.í¡ - í.a + Í.S = | |a||2+||í||2

(E q )

||S|I2- 2S t + ||í||2 * ||S||a+||t||a
de donde: - 2 a.S = 0 -*-*■ a.S = 0

(En)
B

Como hemos establecido la condición de perpen
dicularidad para a y

entonces podemos

dar

Ve.cto/ie.4

3k
la siguiente definición.
VECTO RES O R T O G O N A L E S

1.14

Si es el caso que a y ?

Dos vectores a y ? son ortogonales
si y sólo si a.?=0 .

son ambos no nulos, entonces se dice que

los vectores son perpendiculares y anotaremos:
a.b = 0

a±

(XI)

Por ejemplo, si a=(l/2,-3) y ?=(-2.-1/3)> entonces según (1 0 )
a.? = (1/2)(-2) + (-3)(-1/3) = - 1 + 1 = 0
Como a y ? no son nulos, entonces: al?.
DEFINICION 6.

Para cada vector a=(ai,a2 )eR2, definimos un co­
rrespondiente vector e^eR2, que se lee o/itogonat

a a, mediante:
= ( - a 2 1e i )

(13)

Gráficamente el vector a x se obtiene
haciendo rotar el vector a-,-sobre su
punto inicial, un ángulo de 90° en di
rección contraria a las agujas del re
lo j.
Se verifica luego que si a xa*1, enton
ces a.a =0 ,
En efecto, í
-x =
- (aiiaa).(-a2 ,ai)
a,ax
+

+

i

ai

A

-a 2

ai

= - a ia 2 + a 2 a i = 0
••

ax a

PROPOSICION 1.2

(Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Sean a y ?

ve¿

tores en R 2, entonces se cumple:
i)
ii>
Demo.i¿/iaci6n.

|S.Í| « lla ll

||t||

= ||a|| !¡S||

i) Si a=0 o í=0, entonces

~

a||S

se. nota claramente que

la proposición es válida.
Supongamos que a/0 y ?/0 y consideremos la función para un núme­
ro reR:
f(r) = ||a+r? | | 2 = (a+r?).(a+r?)
y ocurre que f(r) ^ Ó , VreR

(1 )

35

Ve.cio/ie.4

Desarrollando (1) nos dá el polinomio de segundo grado:
f (r) = (S.S)r^+2 (a,S)r + (a.a)
Completando cuadrados se tiene:
f

( p )

=

L

r

( S. S)

V

Como f(r0 ) £ 0

- ^

-

4

4

1 -2

(t.S)

+

-

f(r0 > = (a-t) ( ^ )- ( a , S ) 2
b.b
f •
y b.S = | |S||2>0, esto implica que:

• • la.Sl «

ii) Demostraremos que:
-

(2)

( a . t ) z 4 (a.a)(Í.Í)
-

|£.i|2 ^

\\t\\

||£|HIÍ||

llíll

la.íi]• = l|a||

11^11 **"*
*I|Í
•

|S.Í| = ||S|I
lltll
t

En efecto, si a||S
Luego:

1 2 !

( i.iH

(a. a) (í .Í)-(a.Í) 2i 0

(♦) Si !||i

í

(a.a)(t.t)-(a.t) 2
t.t

= (Í í) (r + Ü - V +
t.t)
Si hacemos r0 = ~ | 4
b.b

+

a=rí¡

|a.Í| = |(rÍ).S|

=|r(Í.t>)!

= |ri||o | | 2

= |r|||Í||||Í|| = |írí||]|í||
/.
(<-)

is.ü = iiaii

Si lS.il = M il II lili
En

iiíii

-

ílli

efecto, si |a.S| = ||a| | M Ü | -

(t.t) 2 = |\t\ \ 2 [ |S| |2
(a.Í)2=(a.a)(Í.Í)

Sustituyendo
a +

r0Í = a- (-^3)í> = 0
b.b

Por tanto:
PROPOSICION 1.3

en (2) ocurre que: f(rc )=|a+roS|=0
a = r?>

a||S

(Desigualdad triangular). Sean a y t vectores
en R 2, entonces: ||a+Í|| ^

||a||+||Í||

Más aún: ||atÍ||= ||a||+ I|S|| si y solo si un vector es unmúlti
pío escalar no negativo del otro.
Demo¿t/iac¿6n.

En efecto:

| |a+o| |2 =.(a+í>) . (a+S)
= | | a | ¡ 2+ 2 a . Í + | |Í|| 2

Ve.ctOA.e.4

36

- I |a+í>l 12 « 1|S||2 + 2\t.t\ + ||S||2
Por la desigualdad de Schwartz, se tiene que:
-> ||t+í|l2 .< Ilall2 + 2 1 |a| | ||t|| + ||£||2
t II
•♦

Ejemplo 1.

llí+tll 4

+ llíll)2

1 1*11 + I|*|I

Demostrar que:

||a+í>||2 - ||a||2 + ||?||2 + 2a.í

De.mo¿t/iac¿&n. Enefecto: ||a+?||2 =

(a+í>).(a+S)
= a.(a+S) + Íu(a+S)
= a.a + a,15 + ÍS.a + S.S

(EO
(E 3 )
(Es)

= a.a + t.t + 2a.t (Ei y E a)
/. n t + s n 2 -

Ejemplo 2.

iiaii2+ n t n 2 + 2 1.%

Demostrar que a+S y a-l> son ortogonales si y sólo s
IISIHISII.

De.moót/iac¿6n,

Demostraremos primero la ortogonalidad.
En efecto, por hipótesis:
IIÍIMIÍII

+

llall2 =

||í||2

t il2 -

llíll2 = 0

+ (a+S).(a-í>) = 0
Por tanto, según (11), a+í> y a-S son ortogonales.
Ahora demostraremos la igualdad de las magnitudes.
En efecto, por hipótesis, a+í y a-í son ortogonales
+ (a+í).(a-í) = 0
•+• a.a - a.í + í.a - S.íi = 0

Por tanto:
Ejemplo 3.

(e^)

H a l l 2 - llfcll* * D
||a||=||t||
Demostrar que:

De.mo4¿siac¿6n.

H a l l 2 = lltll2

(a+í)"1 = aA + í)i

En efecto, sean:
+

■*

a=(ax,a2) y í=(bi,b2)

a + ? = (ai+bi,a2+b2)
(a + £)x = (-a2-b2f ai+bi)

Ve.ctCA.e.4

37

- (-a2,ax) + (-b2,bx)

(í + ?)x = sa ; i x
Ejemplo 4.

Demostrar que si el vector v=($a.c)a-(a^.cjS es para
/

lelo al vector c.
De.mo4ttA.ad6n.

En efecto, sean a=(ai,a2)» í=(bx,b2) y c=(cj,c2)
vectores en R2,

(Sa .c)a = [(-b2,bi).(ci,c2)J (ai,a2 )

= (-b2 ci+bic2 )(ai,a2)
(D

= (-aib2ci + aibic2 > - a 2b 2cx + a 2bx c2 )
(aa .c)1> = [(-a2,ax),(cx,C2 )j(bi,b2)

= (-a2 cx+axc2 )(bx,b2)
(2)

~ (-a2bxci + axbxc2 , - a 2b 2Cx t ax b2c 2)

Restando (1)-(2) obtenemos:
v = (a 2bxcx*axb2cx . a 2 bxc 2 -axb2 c2)
= [(a2 bx-axb2)cx , (a2 bx-axb2 )e2]
= ,(a2 bx-aib2 )(cx»c2)
El coeficiente de c es un escalar, por tanto:
•¥
i i+
v = .re ■»* v e
Ejemplo 5,

Demostrar por métodos vectoriales, que un triángulo
inscribo en un semicírculo es un triángulo rectángu­

lo.

/

De.mo¿t/iad6n.

Supongamos el ABCA inscrito
en el semicírculo cuyo cen­

tro es el origen y cuyo radio es j|í¡||.
Según la figura debemos probar que BC-LCA.
En efecto,

BC.CA = (?-a).(S+a)
= Í>.S + S.a - a.ti - a.a

B

_a

= Il$lI2-Il a j |2
Pero ||S||=||a|| per ser radios del semicírculo.
Por tanto:
Ejemplo 6

BC.CA = 0

BCJ.CA

Resolver la ecuación: 2 [(1 / 2 ,6 ) + í 1 -

o - i

- 2x

si í = ( 1 ,0) y j = ( 0 , 1) .
Soludón.

2[(l/2,6) + (1,0)“ - (xj,x2)] = (0,1)X - 2(xx,x2)

Vedo'ieA

38
(1,2)
( 2 ,1¿)

+

(0,2)
= 2(x

i

- 2(x

i

,x 2 ) =

- 2 ( - x 2 ,x

i

)

,x 2 ) - 2 ( - x j ,x i )

(1,7) = (x1 +x 2 ,x2 -xi)

1 =

Xi

+

7 =

X 2 - Xl

x2

*-*■

de donde obtenemos: xi=-3 y x 2=4
Ejemplo 7.

(-1,0)

-► x = (-3,4)

Sean a.íeR2, demostrar que si 2ax-S = 2Í>x-a, enton­
ces a+í> es ortogonal a a-íi.

De.mo¿tA.ac.¿6n.

En efecto, si 2ax-í>=2$x-a

+

a-í) = 2(íx-a1)

(1)

Aplicando el ortogonal a ambos miembros de (1) y
haciendo uso de las propiedades:

(a+ÍS)“ = ax+í>x
(ax)x = -a

(a-í)J* = 2 (SJ_-a")"

se tiene:

+ a x-íx = 2 (-í + a)
Sumando(1) y (2) obtenemos:
Luego,

-+ ¿(a-í) = 2 (ax-$x)
5(a- í>)=0 *> a-í=0

(2 )

(a+í>). (a-1>) = (a+í).0 = 0

Por tanto, según (11):(a+í) J_ (a-t>)
Ejemplo 8,

Hallar la norma del vector í=(-3m,m), sabiendo que

ha sido descompuesto en el vector a=(- 5 ,3 ) y en otro
vector paralelo al vector c=( 1 ,1 ).
Solución. Si S=m(-3,1)
+
| |í|| = |m |/(-3) *+■( 1) 2
y si: í>=a+rcm(- 3 ,l) = (-5 ,3 )+r( 1 ,1 )

= |m|/TÜ

(1)

Multiplicando cada extremo, escalarmente por (1»1)“L, se tiene:
m(-3,1).(-1,1) = (-5,3).(-1,1) + r( 1,1). (-1,1)
-*• m(3+l) = (5+3) + r( 0 ) , de donde: m=2
Por tanto,
Ejemplo 9.

en (1) se tiene:

Si a y b son vectores unitarios y paralelos, hallar
la norma de ax+b.

Solución, Sabemos que si:
o bien:
Entonces:

||í|| = 2/TÜ

a||í

+ a = rí

ax .b = 0

a||b

||ax+b | | 2 = |\t¿ ||2+2ax.b + ||b| | 2
= ( 1)
H a M ll

+ 2 ( 0 ) + (1)
= /5

V c c io s ie . 4

Ejemplo 10.

Si a=(-6,15), í¡=(-2,9) y c=(-2ra,3m) y se sabe que:
x+y=a, Í\\t

Solución,

Si x||í>

**■ x

y II c +
Luego,

si:

39

y

e y||c. Hallar x.y-*-.
= tí>

-*■ x = t(-2»9)

= se

+ y = sm(-2,3)

(1)
= r(-2,3)

(2 )

- ( ' 2 t - 2r=- 6 * t+r=3
[9t+3r=15 + 3t+r=5

t(-2,9)+r(-2,3) = (-6,15)

Resolviendo el sistema obtenemos: t=1 y r =2
Sustituyendo en (1) y (2): x=(-2,9)

» y=(-4»6)

■\ x .yx = (-2,9) - (-6,-4) = 12-36 = -24
Ejemplo 11.

Si a, í y a+í son vectores unitarios,

hallar la ñor

ma del vector a-S.
Solución, Si el

vector a+S es unitario

+ ||a+£l | 2=1

- ||a | |z+ 2 a.S+ I
-»■

Luego:

||a+í>|| = 1
I I2=1

1 + 2 a. í¡ + 1 = 1

a.í> = - 1 / 2

\\t-$\\2 = ||a | | 2 - 2a.S + \\t \ \ 2 = 1-2(-1/2)+1 = 3
a-í¡|| = / 3

Ejemplo 12.
Solución,

Si a+í>+c=0 y ||a||-2,
Si a+£+c=0

||í>II=5f

||c||=8 ; hallar a.?>

||a+í> | | 2 = ||-c | | 2

a+S = -c

- i|a|í 2 + 2 a.í+|\%\\2 = ||c| I2
-*■
de donde:
Ejemplo 13.

a.í> =

4 + 2 a.í + 25 = 64

35/2

Si a=(l,x), S=(2x,x) y

c =(2 x

,-1 ),

donde x es un nú-

«

mero real; hallar la suma de los elementos del con­
junto M = { (x,y)/(a-c).b = a.c-1}.
Solución,

Tenemos: a-c = (1,x)- (2x,-1) = (1-2x,x+1)
* M = { (x,y)/(l-2x,x+1). (2x,x) = (1,x ) . (2x,-1)-1}
= { (x,y)/2 x- 4x 2 +x2+x = 2 x-x- 1 }
= { (x,y)/ 3x z- 2 x - 1 = 0 }

Por tanto, si M = (xi,x2}

Xi+X 2 =2 / 3

Ve.ctone.4

40

Dado el vector í=(2,3) y la función f:R 2-"R/f(p)=p.í>

Ejemplo y(.

El vector a es tal que f(a)=-1ó y a||c=(1,2). Calcu
lar la norma de a.
Si f ( p ) = p . S + f(a) = a.í = -16
a||c -► a = r c = r ( 1 ,2 )

Solución.

Entonces:

a.íi = r(1,2).(2,3)

Luego, en (1):

Ejemplo 15.

a = -2(1,2)

-16 - r(2+6)

(1 )
**• r=-2

\\t\\ = I-2 I/T+I = 2/5

Sea el cuadrilátero PQRS.
Sean: a=PQ , S=QR , c=RS y

3=Sf. Hallar c.3 si se sabe que:
l|a+S||=7 . I|c||=3 y I |3||=5.

Solución.

De la figura obtenemos:

S = a+S+c - ||3-c || = | |a+í | |=7
Elevando al cua.drado: ||31 |2 -2<l. c+| |c ||2 = 49
+ 25 - 2 c.3 + 9 = 49
de donde:

c.3 = - 7 . 5

Ejemplo 16.

En la figura A , G y E son
puntos correspondientes a
vórtices de un triángulo equilátero ins
crito y los segmentos AB , GD y EF son
tangentes a la circunferencia tales que
MÁB||=3 , ||CD||=4, ¡|ÉF||=5. Hallar
s.u, si s = AB+CD+fF y u = (2,2/5).'
Solución.

Traslados los segmentos AB,

CD y EF sobre un sistema car
tesiano de modo que sus puntos inicia­
les cóincidan con el origen. Entonces?
AB = ||ÁB|!(CosO°fSenO°) = 3(1,0)
EF = ||ÉF| |(Cos120o ,Sen120°) = 5(-¿/f)
CD = | |CD| |(Cos2A0°,Sen2A0o ) = ¿(-1,-^2)
Luego:

s = (3,0) + (-|,^2) + (-2,-2/3)

Por consiguiente: s.u = •|(-3,/5).2(1,/5) = -3+3 = 0

Ve.cto/ie.á

Ejemplo 17.

En la figura, m(^ABC)=90° y
||OB||=3 . Hallar x si:

x = OB.ÓC + OÁ.OB - OÁ.OC
Solución.

x = OB. (OB+BC)+OÁ.OB-OÁ. (OB+BG)

-► x = ||OB||J+OB.BC+OA.OB-OÁ.OB-OÁ.BC
= I|OB"l Ia+BC (OB-OÁ) = I |OB| |2 +bc.ab
Pero:
••#

BCxAB

-*■ BC.AB = 0

x = IIOB112 = (3) 2 = 9

Ejemplo 18.

Dados a=(m,3p) y í>=(-2p,n). Hallar el valor de
de modo que: a+í>=(8,-4) y a.S=0 .

Solución,

Si (m»3p) + (-2p,n) = (8»-4.)

^

fm- 2 p =8 + m= 2 p +8
L3p+n=-4 + n=-3p-¿

Además: (m, 3p) • (-n,-2p)=0

mn = - 6p 2

-mn~6p2=0

(D
(2 )
(3)

Sustituyendo (1) y (2) en (3) se tiene: (2p+8) (-3p-¿)=-6p2
de donde: p = - 1

, luego» en (1 ) y (2 ) obtenemos: m =6 y n = - 1
•
••

Ejemplo

m+n _ c
“"L” " * “ )

Un triángulo DBF se encuentra
sobre un plano inclinado como

se muestra en la figura adjunta. Hallar el
vector DF.
Solución,

Tenemos: DF = DE + EF
I |OA |j = / 0 2 ) 2 +(5 ) 2 = 13

Un vector unitario en el sentido de OA es:
Entonces:

DE = 3u =
DF =

Ejemplo ZJd

!

u =

EF = 2u'L = 2

+ (-j§,

j^^
(

= (*T§»T3 >

= (2,3)

Dados tres vectores unitarios a , í y c que satiafa

. cen la condición a+í+c=0 , calcular el valor de:
•*
a .í¡ + S. c + a. c •
Solución,

Si a+í+c^Q

c

lla+ÍH = M-íll

Ve ctojie.4
Elevando al cuadrado ambos miembros se tiene:
a^

2 + 2 a.t + ||í | | 2 = I|c ||2 —

a .% = - 1 / 2

1 +2 a.í+1=1

Análogamente se obtiene: S. c = - 1 / 2 t a. c
*
*,í>
+ í.c + a. c = - 3/2
a
Ejemplo

•>

=

-

1/2

En la figura adjunta, los
triángulos OCB, PBS y RST

son todos ellos semejantes. Hallar

RT

si P y R son puntos medios de OB y

PS

respectivamente.
Solución.

La figura muestra tres trián
gulos rectángulos isósceles,

en donde:

||0B||=4/5 y ||PS||= /(2/2) 2 +(2/5) 2 = 4

Un vector unitario en el sentido de OB es: u = Entonces: PB = 2/5u = 2(1,1) ;
Luego:

BS = 2/Ju 1

^
4/2

= ^?(1,1)

2

= 2(-1,l) = (-2,2)

PS = PB + BS = (2,2) + (-2,2) = (0,4)

Un vector unitario en el sentido de PS es: v =
Entonces: RS = 2v = (0,2)

y

- (0 , 1 )
=

SÍ = 2v-*- = (-2,0)

RT = RS + ST = (-2,2)
Eje mp 1< V 2 .

Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas diagonales tie
ne por extremos A=(-6,1) y C=(-2,8). Si los lados

de mayor longitud tienen el mismo sentido del vector a=(2 , 1 ); ha
llar los vértices B y D.
_
4y
Solución.
AC = C-A = (-2, 8 )-(-6 ,1 )= U , 7)
Si ÁB||a
BC | |a
Como AC = AB + BC

+

AB = r(2,1)

->• BC = t (-1,2)

+

(4,7) = r(2,1) + t (-1,2)
%
De donde obtenemos: r=3 y t=2
Por tanto: ÁB=3(2,1 )= ( 6 , 3)

-*• B = J+ÁB = ( 6 , 3 ) + (-6,1)= (0,4)

BC = AD = 2(-1,2) =

■*

(-2,4)

D = Í+AD = (-6,1) + (-2, 4)= (-8 .5 )

Vccto*ie¿

o

EJERCI CI OS
Sean a y í vectores en R 2. Utilizando las propiedades del
producto escalar, demostrar:
<

a) ||a+Í | | 2 - || a-Í | | 2 = ¿a.Í
b) M Í + Ü I 2 + ||Í-Í|I2 = 2 ( | |a| |2+| |S| |2)
Demostrar que los vectores a y Í en R 2 son ortogonales, si y
solo si:
I |a+Í| ! 2 - ||S | | 2 + M Ü I 2
Dados los

vectores

ay?,

demostrar que:

a) (a*L)'t = -a

c) a^-í*1, =

b) ax .Í = -a.Í-1-

d)

Dados los

vectores

ay?,

a)

a.Í =

-||a|| ||Í|i M

b)

| |a+Í| | = | |a| | + ||Í| |

a.Í

demostrar que:
a y ? tienen sentidos opuestos
a y Í tienen el mismo sentido

Deducir de la desigualdad triangular que si a y Í están en
R 2, entonces:
Mal M |S| I| « IIS+ÍII « I |a| 1 + 1 |S| I
(Sug. Escribir: a=Í-(a-Í), y aplicar la Proposición 1.3)
Demostrar que si a y ? son vectores paralelos en R 2, enton­
ces:

|a.Í| = | |a| | | |Í| |

Sia y ? son

vectores en R 2, demostrar que:

a)

.< \\t\\

b)

|i.i^| = Mili

Míll
Mili ~

Demostrar mediante un contrejemplo que a.Í=Í.c no implica ni
que b=c, ni que a= 0 .
Siendo a=(2,-3), Í=(-2,1) y c=(3,2), hallar un vector unita­
rio ortogonal al vector v=5a-3(Í+c).

Rp. ^=(§ 5 *2 3 )

Si a=(¿m,m-3) y b=2,m+3), determinar los valores de m tales
que a sea perpendicular a b.
Rp. m=1 o m=-9

Ve.c,to*.e.¿

11. Expresar en la forma v=xí+yj el vector cuya longitud es 3/5
y es ortogonal al vector w= 2 a- 3Í+ 5 c, siendo a=(-1 ,2 ),
í>=(3 ,-5 ), c=(3 ,-4 ).

Rp* v= 3i-6j ó v=- 3 i+ 6j

12. Sean los, vectores a=(m 2-3»m-1), í>-(4/m2 ,4/m), donde m^O es
un número real positivo. Si a y í> sonortogonales,
hallar el
vector v=9Í>-4a.

Rp* v=(19»22)

13. Si t=(1,0) y }=(0,1) resolver para x:
a) 3[íJ-+x-U/3,2)] = (9.-11 ^ x M j
b) ( 6 , 1 2 ) +3 [ ( - 2 , 1 / 3 ) - 2 3 ' + 3 Í a +x ]

Rp." £=(5,-1)

= '^í+a^-í -1

Rp. $=(-1,-5)

c) 3(-2, -3)J" + ^¡x+Í-l-(3,-1)]'L = (5,2)1 -2xx

Rp. x=(5,4)

14- Sean a y % dos vectores en R 2. Si a es unitario y se cumple
que a.í=9/4 y a.(S+J)=3. hallar a.

Rp.

a= (±/7/4. 3/4)

15. Sean los vectores a=(x,x+4), $=(5x-5>x-4)•
Si x>0 .y a.í>=-10,
♦
hallar ||a+t>||.
Rp. 5
w

16. Sean los vectores a, í y c tales que: ||a||=/Z5,
í.c=12. Si a=í-c, hallar ||c||.
17. Sean los vectores a, $ y c tales que: a=í+c,
2/5 y £.c=10. Hallar ||c||.
18. Si a=(2,x), í=(x,-2x) y

c =(x -2,x +1),

|I a||=5, ||í||=
Rp. 5

donde x>0 y si (a+í).c=

a.í+1, hallar el vector v=a+í-t-c.
19. Si a+S-c=0 y ||a||=2 , | |í| |=4/5,

\\t\\*3/2 y
Rp. 4/2

Rp, v=(5,1)
|!c| |=8 ; calcular a. c
Rp. 10

20. Sea el rectángulo ABCD de área 48u 2 y cuyes dos vértices con
secutivos son A=(-2,5) y

B=(2,1). Sila diagonal

ACtiene

mismo sentido del vector

v=( 5 ,1 ), hallar losvértices

el

C y D.

Rp. C=( 8 ,7), D = (4»11)
21.

22.

k.

Si aaR y u=(a-2,5-3a) es unvector
de: j|a(u+2uA)+2ux ||.

unitario, hallar el valor
Rp. 5 6 z/Tü

Sean a,í>eR2, ambos unitarios,demostrar que:

| |*ga + -=jí|| < 1

I' c c í C A f á

15

RELACIONES ENTRE VECTORES

1.15 ANGULO FORMADO POR DOS VECTORES
Sean a

y

b

dos vectores no nulos que tienen el

eíscjo

ori­

gen y sea 6 el menor de los ángulos positivos formado per dichos

0 ^ 6 ^ tt.

vectores, que satisface:

Los vectores a, S y la diferencia a-S
forman un triangulo cuyos lados miden
! Ia II. I!$ll y I¡a-t>| !. (Figura 10)
Por la ley de los cosenos se tiene:
||a-$l|J=||a|| 2 +||$||2 -2¡|£||||£||Cos6
Desarrollando el cuadrado del primer
miembro obtenemos:

Figura 10

I |a-í>| |2=| |a | j.2+| !S | |2-2a.í

Comparando ambas ecuaciones se deduce que:
«+■ +

a.b = |)a||

de donde:

(1 2 )

||b||Cos9
*
*t
a.
b

Cos0 =

(13)

I ¡a | i ||S||
Ejemplo 1,

Hallar el valor del ángulo que forma el vector a que
va de A(¿>5) a S( 6 ,¿)t con el vector S que va de

C(-3,1) a D(-2,-2).
Solución.

a = AB = (6,4.)-(¿,5)

a

= (2,-1)

t = CD = (-2,-2)-(-3*1) = (1. 3)
Luego, según (13):

Cose = .Ü-M-lLiLV
(/3)(/T0)

-

= /5

o

= /10

= 111
5/2

o

•• e = 15

Ejemplo 2.

Hallar la norma del vector 3, sabiendo que a y ?
man un ángulo de 60°, a = a+í>, ||a| | = 3 y ||?ll = 5 .

Solución.

Si a =a+S

| |3| | = | |a+S| |

for

¿6

\¿e.c¿c/ieó
%

w

Elevando al cua'

se tiene:

l|a| | 2 “ ||a|l2 +2a.D + |lí| | 2

Según la ecuación (12): ||c¡ | | 2 = ||a ||2+2 | |a | |||í ||Cos60 +||o | | 2
= 9 + 2(3)(5)(1 /2 ) + 25 = 19
I|2 |l = 7
Ejemplo 3.

Calcular a.Í) donde a y í son
vectores de la figura adjunta

para los cuales:
Solución,

| |a| ¡=4- y | |í| ]=2/3*

Si 0 es el- ángulo que forman
ambos vectores, entonces:

6 = 9C°-(12°+18o ) = 60°
Luego, según (12): a.Í = ||a|| | |í||CosB
a.Í = i/3
Ejemplo

¿í. Los vectores

a y b forman un ángulo de tt/6 radianes.

Sabiendo que i|a||=/3 y ||í||=1, hallar el ángulo q*
forman los vectores u=a+í y v=a-í.
Solución,

Según la ecuación (12) tenemos:
t.t = !!a | | ||S| |Cos (tt/6 ) = (/I)d)(/ 3 /2 )= 3 / 2
u.v = ¡jú||||v||Cos6

(a+í),(a-í) = |(a+o| j | |a-í| |Cos6
- Ila||2 -I!í|¡2= (/ÍTaj \>+2t.U\ |í| |2 )(4|S| |2 -2 ?.S+| |S| i2 )Cos8
+

(✓l)2-(1 ) 2 = (/(/5)2+2(3/2) + (1)2 )(/(/1)j-2(3/2) + (-!)2 )Cos9

de donde:
Ejemplo

CosQ = 2/fl
5. Los vectores

■*

Q - arcCos(2//7)

a, í y c forman dos a dos un ángulo de

60°, sabiendo que |¡ajj=4.f [jí| | =2 y |¡c||=6 , deter­
minar el módulo del vector v=a+ítc.
Solución.

Si v=a+í+c

+

||v|| = ||a+í+ej|

Elevando al cuadrado se tiene:
ilv||2= I|Í||2 +|íÍ|| 2 +||Í|| 2 +2 Í.Í+2 Í.Í+2 Í.Í
= I¡ & I!2 + l 1^1 l2+l Io Il2 +2 (||a|¡||í|| + |J a||||c||+| |S|¡||c¡|)
Gos60°.

\

Ve.cto4.ej>

||v|¡2= 16+4+36 + 2(4*2 +

4x6

+ 2x6) (1/2) = 100

/- IIv|| = 10
Ejemplo 6.

Los vectores a y í tienen igual longitud y forman un
ángulo de 60°. Si la longitud de a+£ es 4 unidades

mayor que la longitud de uno de ellos, hallar la longitud de a.

Solución.

Tenemos:

a.£ * | |a| | ||£| |Cos60°

-*■ 2a.£ = | |a|

IIS+ÍII = 4 + Hall
Elevando al cuadrado: ||a||2+2a.£+||£|i2 = 16+8||a|I+||a||2
Como ||a||=||£||

||a|| = 2 ± /Z +8

IIa||2-4||a||-8=0

/. ||a| | = 2 + 2 / 3
Ejemplo 7.

Si el vector a=(-/3,/55) gira 45° en el sentido hora
rio se determina el vector £=(x,y). Hallar x+y.

Solución.

Si ll£||=|l*ll

/ x 2+y2 * /8+50

+ x a+y2 = 58
Cos45

a .£

=

{1 = (-2/?, 5/2). (x,y)

2

lalllltll
de donde: 2x-5y+29=0

(1)

*►

(/5H)(/5§)
1

y = *^(2x+29)

(2 )

Sustituyendo (2) en (1) obtenemos:
x 2+ 4 x - 2 1 = 0 ^

x=-7 o x=3

Elegimos x=3 por cuanto el lado terminal de £ está en el primer
cuadrante. Luego, en (2) se tiene: y=7
x+y = 10

Ejemplo

8.

Los vectores a y £ forman entre si un ángulo de 45°
y la norma de a es /J5. Hallar Il£||f sabiendo

a-£ es perpendicular al vector a.

Solución.

Si (a-£) 1 a

(a-£).a = 0
-►

a.a - a.£ = 0

-►

-

I |a| |2 = M a l M l£| |Cos30°

4/3 = ||£||(/3 / 2 )

11*11 « a

||a||2 = a.£

que

\V¿8

Vecic/ic¿

lo 9.

En el cuadrado adjunto, el lado
mide a unidades. Hallar el valor

del ángulo 0, si P y T son puntos que trise
can los lados del cuadrado.
Solución* %Como P y T trisecan a los lados
del cuadrado, entonces:

q

0P=(a,a/3) y 0T=(a/3,a)

Luego:

||0P|| = ||0T|| = / a 2+(a/3)2 = | /T0
OP.OT = (a,|) (fia) = ± a 2 + -ja2 = | a 2
OP.OT

Si Cos0 *

+

Cose =

OP || I IOT ||

(2/3')&2 - 3
(■| /TCJ)2

5

0 * arcCos(3/5)

Ejemplo 10.

Sean a y ?

vectores unitarios en R2. Demostrar que

la suma es un vector unitario si y sálo si el ángu
lo formado por dichos vectores es de 120 °.
De.mo¿tsiación,

i) Primero demostraremos que ||a+S||=1

En efecto, supongamos que 0=120° es el ángulo
formado por a y ? . Entonces:
llí+ íl

iaii2 + i m i 2 +2 s.$

2 _

sII 2+ Il^lI2 +2 ||a||||í||Cos0
I a+£|

= 1 + 1 + 2(1)(l)(-1/2)
= 1

ii) Demostraremos que a y ?

forman un ángulo de 120°.

En efecto, por hipótesis:
Luego, si ||a+b| | 2 = 1

de donde: Cos0 = -1/2
Ejemplo’ 11.

= 1

||a||= ||?||= ||a+S||= 1

*

||a||2 +||t||2 +2a.£ = 1

*

1

-*■

+ 1

+ 2 ||a||||?||Cos9 = 1

0 = 120°

Hallar el valor de r= | ]a -

|, si | |a ||=1,

II?!I=2 y el ángulo entre a y S es 60°.

Solución*

Tenemos: a.S = |\t\|||t||Cos60° = (1)(2)(1/2) = 1

y c .c to n e .4

i i
r = 41
|2a+í|i i|

49

^
_
i #** i i * ^ ; g
i ~ i
r2 =
*^(4|
|a|
|2+ 4a.1)+ i| z|?r\>|i |
2) í(

i i

^

/. r = 2/5/3
Ejemplo 12.

Sean a, t> y c vectores en R 2. Suponer que ||a||=1 »

|]í||=1 y llc||=4. Si | |a-í+c | |= ||a+2?+cl | y el án­
gulo entre a y í mide tt/4; hallar el coseno del ángulo entre los
vectores í y c.
Solución.

Tenemos:

a.S = ||a| lililí Cos(tt/4) = (1) (1)

=

||a-í+c||2 = ||a+2Í+c||2
- j |a| |2+ J |í¡ |2+| |c | |2+2 (-a.í+a. c-íi. c) = |\t | |2U | 11 i I2+ I \c H 2+

2 (2 a .í>+a. c+2Í>. c)
de donde:

j\%||2+2a,í+2S.c = 0
* 1 + 2(/5/2) + 2 |\% ||| |c | |CosB

Ejemplo 13.

++

Cose = - 1

Por métodos vectoriales, determinar los cosenos de
los ángulos formados por las aristas y las diagona

les de un paralelepípedo rectangular.
Solución,

Sean a, S y c las aristas y 5
una de las diagonales del pa­

ralelepípedo rectangular; además, sean:
a=m°(d,a) , B=m°(d,b) , y=m°(d,c)
En la figura: 2 = v+c = a+í+c
+
•t
d.a » a.a + a .í + T
a. T
c =
a
- M™

2

í.t = í.t + í.í + t.t = iltll2

3.3 = 3.3 + S.3 + 3.3 = llcll2
Entonces:

Cosa «

.3
Hall I |3| |

í |a| | | | t | |
iiíii

Cosg =
iiíii

Cosy »

i |a| |

lian

c .3
llcll

I |3 | |

iiíii

lian

lian
|icl |

||3||

I

50

Ve,c£one.¿

Ejemplo 14.

En la figura OACB es un para
lelogramo. Si OC=(5,3), BA=

(-3»9) y a el ángulo determinado por OA y
OB

hallar el coseno de a.

So ¿ación.
Entonces:

Si BA=(-3.9)
<5c = OÁ + AC

pero ÁC=QB

OC = OA + OB

■ Í+S=(5,3)

í-§=(-3,9)

(1)
(2 )

De (1) y (2) obtenemos: í=(1,6) y í¡=(4,-3)
-*• S x= ( 3 a )

Í.SX

Cosa =

llíll

(1,6). ( 3 U )

I |SX | |

= 3+2 ¿

( / H 3 S ) (/5+T& )

27

5 /5 7

5/57
D

Ejemplo 15.

En el paralelogramo ABCD se

m(^A)=60°;

tiene: ||AB||=6, ||AD||=4 ,
M es punto medio del lado AB

y N es punto medio del lado BC. Hallar
Cos0f sabiendo que:
Solución.

||a||=6 y ||?II=4/T3*

AD = 4(Cos60°fSen60°) = 2(1,/3)

a

AB = 6(CosO°fSenO°) = 6(1,0)
Luego: ffi = |íB = 3(1,0)

y

i

= ^ÁD = (1,/3)

DM = AM-AD = 3(1,0)-2(1,/3) = (1,-/3)
Pero: a = rDM

| |a| |=r| |DM~( | + 6 = r/í + 3 , de donde: r=3
A

a=3(1,-/5)

Análogamente: AÑ = AB+BÑ =
Si í>=tAN

-►

6 ( 1,0) +(1 , /3)

|\t\|=t| |AÑ| |

= (7,/J)

U/Tí= t/4.9+3 , de donde: t=2

t = 2(7,/3)
Por tanto: Cos0 = --------l|a|| ||í||

= 3(1, -/3) »2(7_,/3) _ _ 1
(3/1+3)(2/49+3)
/T3

Ejemplo 16. En un AABC se tiene: AC=(-2,4) y

AB=(3,-1).Hallar

el ángulo que forma el vector BC con
Solución.

elvector

Tenemos: í-í=(-2,4) y §-í=(3,-1)

7

Restando se tiene: í-$=(-5,5)

+

BC=5(-1,1)

,

e=i5°

Cose = I p j X = 5(-1.1).(0.1) = _1
| |BC | |
5/2
/2

í*1.

51

Ve.ctoA.e¿

EJERCICIOS
1

♦
si a
.

Hallar la medida del ángulo entre los vectores a y
va de A(2,5) a B U , 4) y t va de C<3,-2) a D(2.1).

Rp. 6=135°
Si ABC es un triángulo y AC=(¿,1), AB=(-á,-3)# hallar el co­
seno del ángulo que forma el vector BC con el vector unita­
rio J=(0,1).

Rp.

Cos6=/3/5

3 . En un triángulo ABC se tiene: AB=(2/5,2/2) y AC=(/5,-/2). De
terminar la medida del- ángulo formado por BC y el semieje po
Rp. 0=120

sitivo de las abscisas.

En un plano cartesiano, los puntos A(r,s), B(na+r,nb+s) y
C{-nb+r,ma+s) son diferentes del origen y m ¿0 9 n^O. Hallar
la medida del ángulo formado por los vectores AB~y AC.
Rp. 0=90*
Hallar el ángulo que forman el vector a que va de A(-1,3) a
B(6,4) con fl vector Í! que va de C(5»-1) a D(2,-5).
Rp. 0=135'
6.

Calcular a.í» , donde a y í son los
vectores de la figura adjunta, pa­
ra los cualesr ||a||=8 y ||$||=/75
Rp» -4.8

7.

8.

Calcular ||a+í||

sabiendo que a y í forman un ángulo de 150°

y que: ||a||=/Z5

y ||í||=6

Rp. 2/3

Sean a, { y c vectores diferentes de cero, y supuesto que el
ángulo entre a y c es igual al ángulo entre b y c;para
valor de t es el

vector c perpendicular al vector:

<5 = llalla + tS.
9.

que

Rp. t=-||a||

Los vectores a y b forman un ángulo de 60°, sabiendo que
llall = 5f

11*6| |=8, determinar: ||a+í|| y ||a-í||.

Rp. /Í29 y 7

V c d o s iC A

52
1 0 . Los vectores a y o

Ua|Í.= 3 y

forsan un ángulo de 120 , sabiondo que

l!?ll-5. determinar:

||a*c|[ y I ( & - ? l ¡ .
Rp. /T5

i»

nt

1 1 . Qué condición deben satisfacer los vectores a y £ para que
el vector a+S bisecte al ángulo formado oor los vectores a >

%.

1

Rp.

Ilílhlltll

12. El vector a=(x,y) se obtiene girando al vector t-(-2,4) 60°
en el sentido horario. Hallar el vector a.
Rp. a=(2/3-1,2+/5)
•f, ,
aotba
bise
13- Si ||a||=a y ||í>|Í=b, demostrar que ol vector c
a+V
ca el ángulo formado por a y í,
U . Sean a y ? dos vectores no nulos tales que ||a||=¡|?|¡=m. Si
el ángulo entre a y $ es ir/3 radianes, y la norma de su dife
rencia es 2-m; hallar m.

Rp. m=1

15. Tres vectores a, í y ceR2 satisfacen las siguientes propieda
des: ||a||=||c||=?» ll?II=1 y I|a-?+e||=[(a+í+c||. Si el án­
gulo que forman a y í es n/8, hallar el que forman ? y c.
Rp. 7tt/8
16. Dados tres vectores no nulos en R 2: a, í y c. Supuesto que
el ángulo que forman a y c es igual al que forman b y c. De­
mostrar que c es ortogonal al vector ||?| |a-||a||?.
17. Los vectores a y ?

forman entre si un ángulo de 60° y el raodulo de a es 6. Hallar el modulo de b para que a-D forme coi
a un ángulo de 30°.
uL' •

18

. En

el paralelogramo AECD se tiene:

l|ÁB||=3,

l|ÁD||=6. n{^A)=60°, F y

Q son puntos de trisección de los
lado3 AB y BC respectivamente, ríallar Cos0 sabiendo que ¡|a|¡=¿/7 y
l|í||= 3 /Í9 .

Rp. Cosg =

^
/133

Vecton.es

1.16

53

DESCOMPOSICION DE VECTORES
Sean los vectores no paralelos a y í) en R 2. Si dese un pun

to de vista gráfico un vector v del plano podemos expresarlo co­
mo una suma de componentes vectoriales ra y tí), que son múltiplos
escalares de a y í, entonces se dice que se ha efectuado una des
composición del vector v en sus componentes paralelos a los vec­
tores a y í (Figura 11).
También se dice que v puede expresarse como una combinación li­
neal de los vectores a y í, los cuales reciben el nombre de ba­
ses del conjunto de vectores ve R 2.
Podemos afirmar entonces que todo vector v e R 2 se puede expresar
como una suma de múltiplos escalares de vectores unitarios orto
gonales:
En efecto:

í=(1,0)

y
v

j=(0,1)
(x,y) = (x,0) + (0,y)
= x (1,0) + y(0,1)

de donde:
v

XI

+ yj

Expresión en la cual, los escalares x e y se llaman componentes
escaian.es de v paralelas a í y j. Los vectores xi e yj son

las

componentes vectoriales de v paralelas a i y J (Figura 12)*

Figura 12

1.17

C O M B IN A C IO N LINEAL
Todo vector acR2, puede expresarse mediante una y sólo una

combinación lineal de un par dado de vectores unitarios ortogona
les u y u x. Es decir, existe una y sólo una pareja de escalares

Ve.cto/i&¿

s y t tales que:
( 1*>

Al multiplicar escalarmente por u
— s.^
se tiene:
u. a = su.u + t a ^ u ^ = s||u||2+ 0
«►
u, a = s
de donde:
( 1)
Al multiplicar (14) por ux , se tie
= 0 +t| |uA | |

ux .a = sux.u + t
de donde:

(2 )

u ♦a = t

Figura 13

Por sustitución de (1) y (2) en (14) obtenemos
(15)

a = (u. a)u + (u~. aju4-

También podemos afirmar que el vector a se puede expresar como
una suma de múltiplos escalares de vectores ortogonales no nulos
que no sean unitarios.
En efecto, si u =

t

y

u

±

=

u
+
u

U‘

u

iíi

entonces por (1 5 ) se tiene:
a = (— I - .í)
Vllbll
/

t
lili

(-Ji.s
V llbii

i

■

que equivale a:
U
= (-Si
Mlb
/
Ejemplo 1.

Solución,

\t + ( _ L Ü \ s
Ibll

(16)

Dados los vectores a=(-2,2) y D=(3,1)f expresar a co
roo una combinación lineal de í y í¡x .
Si b= (3,1)

+

í1 = (-1,3) y | |í>| |=/To

Haciendo uso de la ecuación (16) se tiene:
«*•

a = j"(-2,2).(3,1) j (3» 1) +
10

6+2
= (:t Tj£ )(3.1) +
-

2+6

(-1,3)

= - § ( 3 , 0 + §(-1,3)
Verificación:

= r- k . 1 )
a
( 5* V

i

+ / i J2, = ( - 2, 2)
+ { 5’^ ’

(-1,3)

Ve.c£osie.¿

1.17

55

PROYECCION ORTOGONAL
Sean a y £ dos vectores y £ no nulo. La proyección ortogo­

nal o componente vectorial de a sobre £, denotada por Proy-ga, es
el vector:
ProygS = í - % ^ - ) 6 , UQ
b
' I|S||2'

(17)

Si aplicamos (17) a (16). obtenemos:
a » Proyga + Proygxa

(18)

Geométricamente esta definición significa que se puede construir
un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el vector a y cuyos
catetos contienen a los vectores Proy^a y Proy^j-a.

Propiedades.

i) Proy*(a+S) = Proy+a + Proy+S
c
*c
Jc
ii) Proyg(rí) = rProyga

Observación.

Los vectores £ y Proy-ga son paralelos de tal modo
que si el ángirlo 0 entre a y £ es agudo entonces £

y Proy^a tienen la misma dirección y sentido (Fig. U ) ,

en tanto

que si 0 es obtuso entonces £ y Proy^a tienen la misma dirección
y sentido opuestos. (Fig. 15)
Ejemplo 2.
¿oíuclÓn.

Si a=(l2f5) y b=(-3*4)f hallar Proy^a.
Según (17) se tiene:
Prov+a = < 1 2 . 5 M - 3 . ¿ ) = . J6
b
(/9+16)2
25

l/ecto/ie.^

56

Vemos que Proy^a y s son paralelos y tienen sentidos opuestos en
este caso»
1.19

COMPONENTES ESCALARES
Al número

*

£

+

a*
se denomina com.pone.nte. encalan de a en la
nti
dirección de £, siendo b no nulo, y se denota por:
Compía = -----

Pb

(19)

||S“

■** í \ £
)— x— * se puede establecer la réla*1 |b| |/| |b | |

(

ción siguiente entre proyección (un vector) y componente (un nú­
mero).

£

Proyía = (Compía)— 5—
yb
b. 1 ^ 1 ,

(20)

Si Comp-fca>0, entonces la Proy^a tiene el mismo sentido de b, del
mismo modo, si Comp£a<0 entonces la Proy^a tiene sentido opuesto
a £. (Fig. 15)
Por lo que, podemos afirmar que la componente escalar de un vec­
tor es la longitud dirigida u orientada del vector. Esto es, si
— p— es un vector unitario, 1¿ ecuación (20) se puede escribir:
IId | |
Compga = ±|JProy^a||
Nota.

(21)

El signo sé'debe elegir según que £ y Proy^a tengan o no

el mismo sentido. Para los vectores de la Figura 15 se to
ma: Compra = - ||Proy£a||.
Propiedades,

Ejemplo 3,

i) Comp*(a+b) = Compra + Comp+b
c
c
c
ii) Comp^(ra) = rCompga
Hallar la proyección ortogonal y la componente esca­
lar del vector a=(-3»-4) sobre el vector £=( 4.,-2)

Solución,

Si £=(¿,-2) ■+■ ||£||=/20, luego según (17) se tiene:
r„ n t .

57

V c c tO A C A

Obtenemos la componente aplicando (19)» esto es:
Comp-ía = (-3,-4).U,.-2)
b
/50

b

^12±8 = . 2/5
2/5
5

Cono la Comp^a<0, la Proy^a y S tienen sentidos opuestos.
Calculando la longitud de la proyección:
||Proy^| | = /(-4/5)2+ (2/5)2 = ^
observamos que:

Ejemplo 4.

Compra = -||Próy-£a||

Hallar las componentes escalares de a=(-2,2) que son
paralelas' a los vectores í¡=(3»1) y t> .

Solución,

Si ?=(3»1)

||S||=/TÜ y Si=(-1,3)

De la ecuación (16): a = ( -a¿— )— -—

'
Entonces:

t -[l=MLálúl\
L
=

/Tü

+ ( a*^)— ^—

i i í í .n i í i i

M iíiriiíii

+ f(-2,2).(-1.3)T _|i_'

J ||t||

L

/TO

J ||t||

+(_L\_ÜV /Tü/||í||
' /Tü'||S||

De donde:

Compra = --— y
/TÜ

Ejemplo $,

Los lados de un triángulo son los vectores a, í y

Competa =

a-S. Si ||a||=5»

®
/Tü

Il^il=3 y Compía=-5/2» hallar la

longitud del lado a-b.
Solución,

Si Compra = -5/2

*► - ™ —

1

Luego:

i

i

í

i

~~o
1

ñ *^ ~ -15/2

2

||a-S||2= ||a||2- 2 a . S +

||íi|l2

= (5)2 - 2(-15/2) + (3)2 = 49
Ilí-íll = 7
Ejemplo A

Los lados de un triángulo son los vectores a, S y
a+S. Si ||a||=5»

I!Í|1=2/2 y |)a+í||=/53; hallar el

valor de 2Comp^a-Comp-j(a+í) •
Solución, Si ||a+b||=/53

||a||2 + 2a.í + ||b||2 = 53
-*•

(5) 2+2a. b+ (2/2)2= 53

+

a.t=10

58

Vcctonc./»

Luego:

2 0 0 ^

=■ 2 ( j ^ ¡ )

= Z{^

= ^

CoBp-(att) = i i í l l J = I 1 *11 * ■♦■!=* = 25+10 . ?
11*11

5

5

/. 2Conp-ga - Compj(a+í) = 5/3-7

Ejemplo J\

Si a+$+c+3=0 , ||a+S|I=a,
Comp^S

Solución.

! |a+í| |= | |c+3| |

Elevando al cuadrados

Luego: Comp+3 =

Ejemplo 8.

a=||e+3||

a 2 = ||c||2+2c.3+||3||2

a 2 * b 2 + 2c.3 + b 2 , de donde;

c

||3||=c. Hallar

.

Tensaos: a+í * -(c+3)

Entonces:

Ilc||=by

c.3 = ^ ( a 2-b2-c2)

= -wr(a2- b 2- c 2 )
M

o

l

í

2 b

Si el vector í> forma un ángulo de 30° con el semieje
positivo de las X,

11^11=2, Comp£a=-2 y Comp|aa=2/3.

Hallar el vector a.
Solución.

t = I|S||(eos30°fSen30°) = (/3,1)
Según la ecuación (18): a = Proy-^a + P r o y ^ a

♦ a = (Coopta)+(Comp£J.a)-l—

II°II

u

=

+ (2/5)

||b||

t = (-/5,-1)+(-/5,3).= (-2/5,2)
*

Ejemplo 9.

Si a=(-2,/T2) y b =(-3»/3), hallar el ángulo formado

por los vectores a y Proygi-a.
Solución.

Sea: c = Proy^xa = l -a *^—

b
AM AA A

É

A

te

\$x

M lítll*/

f (-2,/Í2).(-/5.-3)1/

Sean: u||a y v||c

+

.

/5,

3».

u=(-1,/5) y v=(1,/3)

El ángulo que forman u y v es el mismo que forman a y c.

■*
Luego:

Cos0 = ----v

« (~^ > ( . 1 »/3) B J.

Ilull ||v||

(/T+3)(/Í+3)

2

«TV

Vecto/iej

Ejemplo 10.

59

Si Proy£a=(-2, 8) , Proy^i-a= {4,1) y í=a+a'L# hallar la
norma de S.

Solución»

Si a = Proy^a + P r o y ^ a

-

a = (-2,8)+(4,1) = (2,9)

Luego: t = (2,9)+(-9*2) = (-7,11)
••

Ejeirplo 11.

||S|| = /170

Dado el vector a=(-4,2) y Proy£ia=(-3»3)» supuesto
que C o m p r a es positivo, hallar Compra.

Solución»

Si a = Proy-ga + Proy^xa
(-¿,2) = Proy^a + (-3*3)

de donde:
Según (21):

Proy^a = (-1,-1)
Compra = i||Proy+aj|

#*

y'
''1-3,3)
♦ / \
a ^
X

/
/
/

\
-*• Compra = ± /(-1) 2+ (-1)2 = ±/5

/

\ y 0
\y

En la figura se observa que $ y Proyga
tienen sentidos opuestos, por tanto:
4

Comp^ a = -/2

Ejemplo 12.

En la gráfica adjunta, c es un
vector unitario tal que:

Cotga = 3/?. Si á+v=ax, hallar Compre.
Solución»

Dado Cotga=3/3 y a en el IV cua­
drante, entonces:
1

Sena =_ — 2/7

y

Cosa =
2/7

Luego, si c=(Cosa,Sena)

-*■

c - *^r(3^3t-l)

Sen75° = Sen(¿5°+30°) = SeiU5°Cos30o+Sen30oCo8¿5o = ¡^(1+*'3)
Cos75° = Cos(¿5°+30°) = Cos¿5oCos30o-SerU5oSen30o - ^|(/3-1)
+ a = | |a| |(Cos75°,Sen75°) =
Luego:

|a| |(/3-1,1+^3) = r(/3-1 ,•'1+1)

v = a -a = r(-/3-1*^3-1)-r(/3-1,/3+1) * 2r(-/3,-l)

- - T Z (3 /3 .-1 ).2 r (-/3 .-l)

por tantc: Compre

2r/3+1

2 /7

60

Ve,ctojte-á
I

Ejemplo 13.

Dado el exágono regular de lado
a, hallar la proyección ortogo­

nal de FC sobre BE.
Solución.

FC = ||FC||(Cos60°,Sen60°)
&

= 2a(1/2,/5/2) = a(1,/5)
BE =

®

BE | |(Cos300°,Sen300°) = 2a(-l , - Q )
BE = a( 1,-/5)

Luego: ProyggFC =

FC^BE, gj. s a(1^/3.),al 1.-/3)a(1|./5)
|BE||2
a2(/T+3)2

*. ProyggFC = -§(1,-/3)

Ejemplo 14,

Un avión vuela en* sentido del
vector a. La velocidad del

viento es de 50 Km/m en sentido del vector
v. Hallar el duplo de la componente de

la

velocidad del viento en la dirección del a

►x

vión.
a = |Ja| |(Cos¿5°.SeiU5°) = ||i| 1^(1,1)
v = | |v|i(Cos120o ,Sen120o ) = 50 ( §,4¡) = 25Í-1./J)

Luego: Gomp-^v = — •a

IISII

_

25/?

|S|
2Comp-*v * 25/2(/J-1)

Ejemplo 15.

Dados los puntos A(-1,3)» 5(5.6) y C(7,5)í si P di­

vide al segmento AB en la razón ÁF:PB=2, hallar la
proyección del vector AP sobre el vector BC.
Solución*

Sea el punto P{x,y). Si AP = 2
PB
(x+1,y-3) = 2(5-x.6-y)

Luego: F (3*5)

AP = 2PB
x+1=10-2x
y-3=12-2y

AP - (3,5)-(-1.3) = (4.2)
BC = (7, 5)-(5* 6) = (2,-1)

+

x=3
y=5

I

61
Entonces:

Proy-r^AP = f

')gQ =
\ I |BC|
iRñ 1 I2/
\2!

BC

?-I* í_» 7^1 (2,-1)
(/¿Tí)2

Proy-^Á? = -^(2, - T )

Ejemplo L6.

En-la figura adjunta se tiene:
a| 1=2, t . W 5| |£| |. Sea 5

tal que íx +u=S y a el ángulo entre a y í,
Hallar Proy+a.
Solución,

a = ||á||(Cos60°,Sen60°) = (1,/3)
Si a.í = ||a||||S|(Cosa

+ /2j|í¡|| = ||al|||S||Cosa» de donde: Cosa = /2
~2

*

, -o
a=¿5

Luego: t = ||S||(Cos105°, Sen105°) = ií^ii (/ 2 -/ 5 ,/ 2 +/5)

Si Sx+Í=£
Por tanto:

Ejemplo J/.

-

U = $-Sx = -ü|U(/5,/5) = r(/5,/b)
Proy+a =( —
— )u =
U
Mlull*/

.r(/?,/5)
r 2 (/2+6)2

En el paralelogramo de la
figura se tiene:

DE = EC,

m(^BAD)=60°. La altura relativa a la ba
se ÍD es h. S i $ = A l F + Á E - B D y ?

=

Eroy^pM, hallar ||?|| en función de h.
Solución.

Tenemos: S = AB + AE - BD
Pero:

AE = AE + DE .

BD = AD - AB

M = AB + (AD + DE) - (AD - AB) = 2AB + DE =
||f|| = N P r o y ^ H
de donde:
En el ADBC:

M. AD

¿f AB.AD

IIÁDll

2 'I|Á5||

=

i H a b II H a d II CoséO
-

I}ÁB|I

||?| | = -t | |AB| |
h = ||DC||Sen60° = ||AB||Sen60°
■*.

I l ?

l l

=

|

(

^

h

)

=

h

+

J JAB|¡ =

Ve.ctox.e.¿

62
Ejemplo 18.

Sea el cuadrilátero ABCD tal que M(-2,4) y N(4»2)
son puntos medios de los lados AB y BC respectiva­

mente; DM es paralelo al vector a=(1,4-)» CM es paralelo al vector ?=(-3>2) y Proy¿|DÑ = ^|(3,2). Hallar los vértices del cuadrilátero.
Solución.

Dado que ÍB||Proy^DN ,
entonces:

AB = r(3»2)

Si DM ||a + DM=t(1,4) + ft-5=t<1,4)
+ 3 = (-2. 4-)-t( 1.4-)
DÑ = ft-S = U,2)-(-2,4)+t(1,4)

(1) A

= (6+t,-2 + 4t)

4
D
_ñw
/
DÑ.ÁB
\
Luego, si: Proy^DN = (77 = ^ ) AB
►

14(3,2) = ■(6+t>~2+.
¿ t^ r P » 2.). r (3, 2)
13
r2 ( / 9 Ü ) 2

le donde obtenemos: t=2 . Sustituyendo en (1): D=(-4>-4)
Como M es punto medio de AB
o sea:

r(3,2) = 2(S-Í)

CM||Í + fi-í = s(-3» 2)

*► AB=2MB

-► S =
+

3r- i, 2r+8)

(2)

5 = (-2,4)-s(-3»2) = (-2+3s,A-2s) (3)

N es punto medio de BC

S

+

S)

Entonces: 2(4-,2) = ^(3r-4,2r+8) + (-2+3s, 4--2s)
(16 ,8 )= (3 r+6 s-8,2 r- 4.s+l6 )

16 = 3r+6s-8

+

3r+6s = 24-

8 = 2r-4s+l6

r-2 s = - 4-

Resolviendo el sistema obtenemos: r=2 y s=3
Luego, en (2) y (3)* tenemos: S=(1,6) y £=(7,-2)
ÁB=2(3,2)
Ejemplo 19*

♦

$-í=(6,1)

-

í=(1,6)-(6 ,¿)=(-5,2)

La figura adjunta es un tra

'a

pecio rectángulo en donde:

!I .

a=(5,12) y c=(-2,3). Hallar su área.
Solución.

.,

%
f

|

|S

-y
||a|| = /5 2 +12 2 = 13
a
*c.
►*
*i
a
_ (-2,3).(-12,5) _
| |S| | = Comp-KLc =
la
13

||£| | = Compre = —c *a = -C~2 »3). (5,12)
3
II a||
13

2

6

Ve.ct csie.¿

lltll = llSlI-llSll = 1 3 - 2 = 11
Area del trapecio: S = ¿( | |a| |+ ||S||)||í| | = ¿(13+11)3 = 36u2

Ejemplo 20.

Sean afSeR2-{6) y r^O. Establecer el valor de ver­
dad de las siguientes afirmaciones:

a) Proy^ia = Proy+j.o

■+

t=t

b) Proy+(?roy^a) = ?roy£(Proy+t)

-+

a||t“

ó

||a||=||t||

c) |Comp*(t'L+í>) | « |\t \|
d) Si r>0

C o m p r a = -Comprati

e) Proyr^(ra) = Proy^a
Solución,

a) Si Proy^ia = Proy^ií

íx | |Proy+xS
9»
+ JL

Pero como: Proy+ií| |a'L

& \ \ a

t||t

Por tanto, la afirmación es 4ai¿a
b) Si Proy^(Proy^a) = Proy^(Proyjí) , entonces
F(?roy+$).t
L

I M I 1-

r (a. ti) (S. a) ~|g _ í" (ti. a) (a. ti)

L |lS |I2[|a ||2J

" L ||S||*l|Í||a-

(1)

S

La igualdad (1) se verifica si y sólo si:

a.S = 0 -*■ a J. t -*• a||t~
■*

a.S ¿ 0 , en (1) se tiene: a=S

lla lH IÍII

Luego, la afirmación es ue.iidade.ua.
S.(Sa +S )
c) |Compt(aA+o )| £ Mt||
ilSll
a. a

+ a.b

lltll

*
aM

*

llíll

iitii

lltll lltll

La afirmación es uc/idade.na porque se trata de la disigualdad
de Cauchy-Schwartz.
d) -Comp t ( P ) = - i 4 j J í

rb

llrbll

Dado que: r>0 •+ |r|=r

= -

ra .b
Ilb| I

-*■

- C o m p ^ í a 1) = -

.

$

IIÜI

6¿

Ve.dc/ie.a

Pero:

= -t.fr

y||í¡|-||tA ||

Entonces:

-Compr^(aJ') =

= Compra

Luego, la afirmación es i>e.sidade.A.a»■ *-«

.) Pro,t t (rI) ■

La igualdad se cumple solo cuando r=1, por tanto, la afirma­
ción es ¿ol¿a.
Ejemplo 21,

Sean los vectores S=(k,-2) y fc=(2k,k+2), donde keR
Hallar los valores de k de modo que Proy^a y £ ten

gan sentidos opuestos.
Solución.

Si Proy^a y o tienen sentidos opuestoa
o sea ;

< o ; pero como ||S||>0

**• Comp^a<0,
•*- a.$<0

iitn
(k,-2).(2k,k+2)<0
2k*-2(k+2)<0 «-«■ k2-k-2<0
(k+1)(k-2)<0 -w (k+1<0 a k-2>0)v (k+1>0 a k-2<0)
— ► (k<-1 a k>2) v (k>-1 a k<2)
— *• ( 4> ) * (-l<k<2)
Ejemplo 22.

•*+

ke<-1,2>

En la figura:
TP||ÓX,

||OP||=8

M

Si OT=mOP+nOP, hallar m.n
Solución»

ÓP=||OP||(Cos30°,Sen30°)=(¿/5,4)
Componentes de OT: y=x
®

Pero: y = ordenada de OP = 4
Luego:

**

OT=(4,4)

(4,4) = m(4/3,4) + n(-4,4/3)
(1,1) = m(/3,1) + n(-1,/5)

f 1 = /Jm - n
\l = m + /Jn

Resolviendo el sistema obtenemos: m = 4(/3+l) , n = 4(/I-l)
4
4
•\ m.n = 1/8
Ejemplo 23.

Se tiene los vectores a y í

con J |a | |=2/3. Si $=sa+taJ‘,
calcular el valor de s+t.
Solución.

a = ||a||(Cos60°,Sen60°)

VectoA.e¿

-

6 5

t = 2/5(1/2,/3/2) = (/3t 3)

Ordenada de í = Ordenada de a
Si % = sa + ta*L

-*■

♦

y = 3 - -x

?>=(-3f3)
(1 )

(-3t3) = s(/5f3) + t(-3»/3)

Usaremos un método mas directo para calcular s y t.
Multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por (-3*/5) •
(-3.3M-/5.-3)

= s(/5#3).{-/5»-3) + t(0)

-*■ 3/5 - 9 = s(-3-9) » <3e donde: s =
Multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por (/3.3)i s
í-3.3).(-3,/5) = s{0) + t ( - 3 f / 3 M - 3 . / 3 )

-►

9 - 3/5 - t(9-3) * de donde:

t = 4(3+/?)
4

.*. s+t *= ^

EJERCICIOS
1.

Dados los vectores a y £ en R 2, demostrar que:
||a ||2£ = (a.S)a + ( a \ S ) a “

2. Si a y í son dos vectores en R 2, demostrar que:
||a||2 ||í||2 = <£.£)2 + (£A .£)2
3.

Demostrar que:

a) Proy-*(£-c) = Proy+£ - Proy-*c
&
&
&
b) Proy+(r£) = rProy-*-£
&
&

Sean los vectores a y S lados de un paralelogramo. Si ||a|| =6
||a|| =2||£|| y Comp^a=10/3» hallar la longitud de la diago­
nal a-í>.
5.

Dados los vectores a=(/3f-l) y £=(3f/3)» hallar:
2(Proy*ga +

6.

Rp. 5

Sean a y í

Proy+£)

dos vectores tales que: a=(5»-2), Comp+£=-58 y

||£||=29* Hallar Compra.
7.

Rp.(3+/3*1-/5)

Rp. -

Si a es un vector del mismo sentido que $=(1,2), tal que:
l|a||=50 y ||£¡|=29* Hallar Compra.

Rp. -¿0

66
8.

i/e.cio/ie¿

Los lados de un triangulo son
| |a | |=6,

los vectores a, í y S-a. Si

| |í | |=2 y ||Í-a||=5; hallar Comp^a-Com^S.

9. Los lados de un tri4n 6ul° son
| la |1=10,. ||o ||=6 y Comp£a=-5.

Rp- 5/2

l°s vectores a, í y a-í, si
Hallar la longitud de a-S.
Rp. 14-

10. Los lados de un triángulo son a, í y a+o, tales que ||a||=8
||?||=6 y | |a+í¡| |=/5S. ,Hallar: Comp^(a+í)-3Comp^(a-S).
Rp. 32
11. Si ||a-o | |=4»
a*
12. Si 5=a+S+c,

11^11^3 y Comp£(a-£)=22/3* hallar la norma de
Rp. /£$

||a|| =p,

||ÍM=q.

||c||=r, a.S=pq, a.c=pr y

Comp£c=r; hallar la norma de c¡.
13- Si a+í+c=0,

, ||a||=a,

'

Rp. p+q+r

||í>||=b, ||c||=c. Hallar Compra.
Rp. ^¡(c2-a2-b2)

14. Si Proy^a=(2,-5)» Proy^xa=(«3,2) y í=2a+ai . Hallar ||í||.
Rp. 5/5
15. Sea (|a||=/55,

| |a+í| |=/l64» Comp-+(a+í)
= —ti▼ i1
3

Hallar

Comp^(a-í>).

Rp . 12/5

16. Si a=(5*-2) y Proy£ia=(i, 1); hallar Compra sabiendo que
C o m p r a es positivo.
Rp. /To
17. Hallar el ángulo formado por los vectores a y Proy^i-a, si
a=(1,2) y Í=(1,3).
R p . 45°
18. Los vectores a y í de longitudes 2 y 3 respectivamente, for
man ángulos de- medidas a y 8 con el vector c=(1,1). Siendo
0 <a<90

y 6<180°, Hallar

[|Proy^(a+S) | | en términos de ce
v

y '&■
19. Si a=3( j

Rp. 12Cosa+3Cos6|
jj+4.("j j'|“ ^ j y Comp+i$=2, hallar |aA .í|.

Rp. 10

20. Hallar el vector t sabiendo que: \\t\\=2/2, a=(-4,2), Compás
es positivo y Proy£lS=(-3,3).
Rp. (-2,-2)

A

V e c to s i4 ¿

67

21. Dado el exágono regular ABCDEF de la
figura, cuyo lado mide 10 unidades y
el vector M=BD+FC+BC; hallar:
I|Proy^j,M| |.

Rp. 2 5

22. En el paralelogramo ABCD, m(^BAD)=60°
||AB|Í=a, ||AD||=2a, donde aeR-{0}.
Si p=| |Proy^AC| | y q* ||Proy^AC i |,
hallar p+q.

Rp.,^a

23. Sabiendo que: Proy+(a,b)=(1,2)
y Proyf(x,y)=(-4,-8),
hallar
a
&
Proy+(4a-x,4b-y).
&

Rp. (8,16)

24. Sea ABCD un rectángulo tal que 2AB=AD
y ||AB | |=a? sean E y F puntos medios
de los lados BC y DC, respectivamente
Si M = AE+AC+AF, hallar el valor de:
Coap^M+Co.^M .

Rp. (25/2)a

25. Dado el exágono regular de lado a, en
donde G y H son puntos medios de BC y
DE respectivamente; hallar ||x|), si:
x = Proy^(5AG)+Prcy^,(9AH).

Rp. .10a

26. En la figura: a, ? y c son tres vecto
res de R2 tales que ? es unitario, c
es ortogonal a a y a.? = ||a||(/3/2).
Hallar Compra .
Rp. /3/2
c
27. En el rectángulo de la figura:
H, P y Q son puntos medios. AB=4FB,
0C=4a* 0A=a. Si v=HF+AF+QC, hallar:
CompjgV + Comp^gV.
Rp- 2q (26/5+53)a

28. En la figura: ||a||=8, ||?||=6 y
||a+?||=/FB. Hallar:
Comp+(a+?)-3Comp^(a-?).

Rp. 32

68
29

Ve.cto/ie.¿

En un trapecio ABCD, los lados paralelos AB y CD miden 9 y 3
unidades respectivamente. Si M es punto medio de AB, N es
Rp. -1/3

punto medio de BC y MN=mAB+nAD, hallar m-n.
30

En la figura se tiene los vectores
a y 5, con ||a|| = 4. Si í=sa+ta , ha
llar el valor de s+t.

Rp. 1/2

31. En la figura: a=30
|(0M||=12, si 0Ñ=m0M+n0M-\ hallar
el valor de m+n.

Rp. -g(3+/3)

32. Dados los vectores que se muestran
en la figura, hallar n+/Jm sabien­
do que: ma+nax = c , siendo ’
a un vec
tor unitario y ||c||=8
Rp. 8/3
33. En la figura se tiene los vectores
a, ^ y c, donde ||a[|=2/3. Si
c = ma + nS, hallar m-n.
Rp, / 3 / 3
34. En la figura el AABC es equilátero,
CH es altura. Si CH=(2,4-) y v =(/3#1)
hallar Comp^CA.
“
Rp. 4/3/3

35. En la figura se tiene:
a(AOAB)=10u2 y ||í||=4.
Si Proy£ia=(x,y), hallar

4/3xy.
Rp. -75

36. En la' figura:

AB||0Y y ||0A||=4.

Si 0B=m0A+n0A'Ly hallar el valor de
m-n.

Rp. ¿(3-/3)

y

4

Vc c í o

1.20

69

aza

AREA DEL PARALELOGRAMO Y DEL TRIANGULO

Haciendo uso de la proyección ortogonal de un vector sobre
otro, estamos en condiciones de hacer otra interpretación geomé­
trica del producto escalar.
Para el efecto consideremos el para
lelogramo de lados a y

S

(Fig. 16).

Llamemos ||c|| a la altura, que se
obtiene mediante la proyección orto
gonal de a sobre í , de modo que:
t.t1
I|c|1= 1|Proy£La|| = |Conp^xa| =
¡t1
Recordando que el área del paralelo
gramo es igual al producto de su ba

Figura 16

se por la altura, se tiene:
s = llíllllell

= ||í||

. t

1

, pero

| |í| |= | |ÍA | | + S=|a.í'L

Por lo que, podemos dar la siguienete:
*

DEFINICION 7.

El área (S) de un paralelogramo, cuyos lados son
los vectores a y í>, es igual al producto escalar

de uno de ellos por el ortogonal del otro. Esto es:
S =

a. d

= Ia x.6

( 22)

En particular, el área del triángulo (Si) cuyos lados consecuti­
vos son los vectores a y ?

está dado por:
=

Ejemplo 1.

(23)

Sean A(-3»1)» B(7,-1) y C(5»3) tres vértices consecu
tivos de un paralelogramo. Hallar su área.

Solución,

Tomemos el vértice B como
punto inicial de los vec­

tores a y ? ,

Entonces:

a* = BA = (-3»1)-(7,-l) = (-1 0 ,2 )
t = BC = (5,3)-(7,-1)
Luego: S = |a.D

(-2,4)

(-10,2).(-4,-2)

&

D

Ve.cto/ie.¿

70

Hallar el área del triángulo de vértices A(-8, - 2 ),

Ejemplo 2.

B(-4,-6) y C(-1,5)•
Solución*

Tomando el vértice A como punto
inicial de los vectores a y t>,

se tiene:

a = AC = (-1»5)-(-8,-2) = (7,7)
t = Ái = (-4,-6)-(-8,-2) = U,-2)

Por tanto, según la ecuación (23):
s = 4 i (7,7)-(4,4)I = ¿| 28+28 | = 28 u 2

Ejemplo 3.

Hallar el área del paralelogramo sabiendo que sus
diagonales están contenidos en los vectores u=(3»3)

y v~(5,~1) .

Solución♦

En el AABD: 'a = S + v

(1)

En el AADC:

(2)

ú =¡ a + í

De ( O y (2) obtenemos: a = ^(u + v)
í> = *|(u - v)
Luego:

a=(4,1) y $=(-1,2)

Si S = la.t*1!
Ejemplo 4.

$ a =(-2,-1)

S = |(^,1). (-2, -1)| = |-8-l| = 9u2

Se dan los puntos A(3*-2), B(-3,2) y C(2,7). Si P di

vide al segmento BC en la razón
= % ; hallar el á
PC
rea del triángulo APC.
Solución,

Supongamos que P=(x,y)
Si 3BP = 2PC

Entonces: 3(x+3,y-2) = 2(2-x,7-y)
3x+9 =- 4-2x * x=-1
3y-6 = 14-2y + y=4
Luego:

a

AP = (-1.4)-(3,-2) = (-4,6)

t

AC = (2,7)-(3,-2) = (-1,9)

í X=(-9,-1)

Por tanto: S = ¿la.í-1! = ¿ | (-4.6).(-9,-1)| = 15u

l'e.c¿o.i£.¿

Ejemplo

71

Sean los puntos A(3,5). B(k,2) y C(5*1). Hallar

los

valores de k de modo que dichos puntos sean vértices
de un triángulo de área 11u2.
Solución*

Tomando A como punte inicial tenemos:

B(k,2)

a = AB = (V,2)-(3.5) = (k-3.-3)
t> = AC = (5,l)-(3,5) = (2,-A)
S =

a.í'11 + 11 = i|(k-3.-3).U.2)|

de donde:

|2k-9|=11

2k-9=11 6
k=10

Ejemplo 0*

2k-9=-11

6 k=-1

Los vértices de un triángulo son A(2,-1), B(¿,2) y
CeL={ (x,y)/y=x-2K Si su área es 5u2, hallar la suma

de las ordenadas de todos los posibles valores del vértice C.
Solución.

Si C(x,y)eL

-+■ C(x,x-2)

Sean: a = AC = S-í = (x-2,x-1)
y í> = AB = 5-í = (2.3)
S=^|a.bA| + 5
de donde:

= (x-2).(-3,2)|

|l-x|=10

4-x=10 ó
x=-6

Luego, hay dos soluciones:

ó

l-x=-10
x=14

C{-6,-8) ó C(14f12)

Por tanto, la suma de las ordenadas es:
Ejemplo y i

yi+y 2 s¿

En la figura:
OACB es un paralelogramo. Si

OC=(5,3) y BA=(-1,5)* hallar el área del
triángulo OAB.
Solución,

Sean: 0A=a y 0B=S
En el AOBA: a = % + BA
En el AOAC: 0C = a + $

Del sistema de ecuaciones obtenemos: a = •JÍ0C4BA), í =
Luego:

S=(2,¿) y í=(3,-1)

Si S = ^la.í-1!

+

+

ÍA=(1.3)

a(AOAB) = \ |(2, ¿). (1, 3) I = 7--1

tj(OC-BA)

Va c í o /

72
Ejemplo i.

Hallar el área del polígono de vértices en A{-2,3).
B(2,7)i C (8 ,2), D(6,-2) y E(2,-5).

Solución.

Dividamos el polígono en tres triángulos de áreas Si,
S 2 y S 3 . Tomando el vértice A como punto inicial de

los vectores a, í>, c y 3, se tienec
a
í

= AB = (2,7)-(-2,3) = U,¿)
= AC = (8,2)-(-2,3) = (10,-1)

c

= AD = (6 ,-2 )-(-2 ,3) = (8,-5)

3

= AE = (2,- 5)-(-2,3) = U . - 8 )

51 =

A

a.í1 | = -J|(i,¿).(1,10)| = 22uz
9

5 2 = ^Ic.^l

= i|(8,-5). (1,10) | = 21u 2

53 =

= i|(8,-5).(8,A)| = '22uz

4

.. S = Si + S 2 + S 3 =,65u*

Ejemplo

9. En la figura:

a(¿0AB)=10 , ||a||=5. Si
bs(pfq), hallar el valor de /Jq+p.
So¿uc¿6n.

a = ||a||(Cos30°,Sen30°)
* a = |(/3,1)

a(A0AB) = 10

■* -Í| a-*-.S| = 10

~
++

t = | |S| |(Cos60°,Sen60°)

|(-1 ,/3).(p,q) = 10
-p -+ /3q = 8

*

(1)

(p,q) =

Por igualdad de las primeras componentes se tiene que:
P = 2 /P 2+C12

^

Resolviendo (1) y (2> obtenemos:

(2 )

q = /3p
p=¿ y q=¿/3

•\ /5q+p = 16
Ejemplo 10,

La-figura es un trapecio
"isósceles, en donde:1

a=(l»3) y Í>=(5,-1). Hallar su área.
A

F

E

D

Vcctone.4

Solución*

Sean:

c = CE = P r o y t x S , S x=a(BCEF) y S 2=a(ACED)
CX

= (.
V a**

'

2

8
51 = | a . c x | = | ( ( 1 , 3 ) . ( 1 , 3 ) l

5> ~1}] (-3, T) = |(3.-1)
10
J
5

'

L

} -

= 16u2

= (|)(|)|(5.-1).( 1 . 3 ) 1

5 2 = ^iS.c'l

73

= I

u2

*. S = S X+2S2 = 16 + —16 = 19.2u*

Ejemplo

11.

En el triángulo isósceles ABC,
hallar:

||PQ| |+ ||PS||,

área del AABC es U u a y

| |AB | |= | |BC | I

Sean: S x=a(AAPB) y S2=a(ABPC)
s 2 _ -| IBC | IX IIFS I I _ IIPSII

Solución.

Si

||AB||x ||p q ||

Sí + Si . 11PQ!l+ l|PS|I
Sí

= JJJPS| |+ | |PQl I

Si

I |PQ|I
2

I1PQII
x

||p q ||) = 2||PQ||

U

= jJPSjJ^JJPQjJf de donde;
2 1IPQI I
I IPQ 11

Ejemplo 12.

y Q(-3,-l)

N=(5f 3 ) 9

?*(2.-2)

son puntos medios de los l a ­

dos de un trapecio ABCD.
sabiendo que

Solución*

H allar su área

||AB||=2/5.

0 ^ 2 i)
P

Por geometría elemental sabe
reos que: QN| IAB [ |DC.

si: QÑ = N-Q =

Entonces,

J|PS||+||PQ||=7

En la figura:
M=(0,4),

Luego,

IIp q II

U

Pero: Si = i(||ÁB||x||PQ||) = 4 U
Luego:

si el

L l r * )

D

(5,3)-(-3.-1)*(3, U )

_

un vector unitario en la dirección de AM||(2,1)

■¥

+

u •

AM = ||ÁM||Í = / ? iiill = (2,1)

/5

IIÁHll
■*

M-A = (2,1) ~

A-(0,4.)-(2,1) = (-2,3)

M = -^(A+B)

-<■ B=2M-A = 2(0.¿)-(-2,3) = (2,5)

N = |(B+C)

+

C=2K-B = 2(5.3)-(2,5) = (8.1)

es

Vectoneó

D=2P-C = 2(2,-2)-(8,1) = (-¿,-5)

? = 7j(C + D)

Entonces:

AB=(2,5)-(-2,3)=(4,2)

¡ A C - (8,1)-(-2,3)-(10,-2)

DÁ=(-2,3)-(-¿,-5)=(2,8)
S = a(ADAC)+a(AABC) = ■l|DA.IC't| + ^|ÁB.ÁCX |

= ^|(2,8).(2,10)| + i|(4,2).(2,10)¡ = 56u2

Ejemplo 13.

Tres vértices consecutivos de un rectángulo ABCD
son A={- 8,4), B=(2,-2) y C=(5,3). Si PeÁB, QcCD,

R e AD, PQ||a=(7,6) y PQ+PR=(5/3,31/3); hallar si vértice D, los
puntos P, Q y R, y el área del cuadrilátero PRDQ.
Solución.

Tenemos: EA=(-8,4)-(2,-2)=2(-5, 3)
Pero: CD=BA

-4- d =C+BÁ=(5,3)+2(-5,3) = (-5,9)
Si PQ M a -* PQ = r( 7, 6)
¿P = tBÁ

->•

Q-P = rí'J^)

-

P = A + tBÁ

(1)

^ P = {-8,i) + t(-5» 3)
(2)
DQ = sCD -*• Q = D + s(-5,3)
-*• Q = (-5,9) + s(-5,3)
Restando (3)-(2) obtenemos:

(3)

Q-P - (3,5) + (s-t) (-5,3)
Luego, en (1):

i

( 2 ,-2 )

r(7,6)=(3,5)+(s-t)(-5,3)
r(7,6)+(s-t)(5,-3)=(3,5)
Multiplicando escalarmente por (5,-3)X y luego por (7,6)x se tie
ne respectivamente:
Si PQ+PR = (J,^)

r=2/3 y s-t=-1/3
FR = (J.-U) . | (7>6) = (_3>1|)
R-P = (-3,^)

Pero: AR=kAD

U)

-*■ R = A+kAD = (-8, 4)+k(3,5)

(5)

Restando (5)-(2) se tiene: R-P = k (3,5)-t (-5,3) = (-3,19/3)
de donde obtenemos: k =2/3 y t=-1
Por tanto:

-*■

s=-1-1/3=-4/3

P = (-8,¿)-1(-5,3) = (-3,1)

Q = (-5,9) - |(-5,3) = (|,5)

R = (-8, A) + |(3.5)

Area del cuadrilátero: a(PRDQ) = a(¿FRD) + a(¿PQD)

(-6 ,^ |)

75

Ve.ctoAe,¿

a(PRDQ) = ■i|PR.PDJ’| + ^ P I ^ P D 4-!
= -^l (~ 3 .-1§ ) . ( - 8 . - 2 ) | + | | ( J ^ , A ) . ( - 8 , - 2 ) | = 8 5 /3 u 2

EJERCI C IOS

En los ejercicios del 1 al A, hallar el área del triángulo
cuyos vértices son los puntos dhdos:
1.

A(-5.0) , B(1,3) , C(-3.-2)

•

Rp. S=9u2

2.

A(-3.4)

, B(6,2) , C(A,-3)

Rp.

S=2A.5u2

3.

A(2,-3)

, B(A,2) , C (-5.-2)

Rp.

S=10.5uz

A.

A(-1,2) , B(3,5) . C(5,1)

Rp. S=11u2

En los ejercicios del 5 al 8 se dan tres

vértices consecuti­

vos de un paralelogramo, hallar las coordenadas del cuarto
vértice y el área de cada paralelogramo.
5.

A(A,-5) , B(-2,3) , C(-3.1)

Rp. D(3,-5), S=20u2

6.

A(-1, -2) , B(0,1) , C (-3.2)

Rp. D(-A,-1). S=10u2

7.

A(-1,-5) . B(2,1) , C(1,5)

Rp. D(-2,-1), S=10u2

8.

A(2,A) ,*B(6,2) , C(8,6)
En los ejercicios

Rp. D(A,8), S-2Cu2

del 9 al 12, hallar el

área del paralelo-

gramo cuyas diagonales _son los* vectores dados:
9.

u = (-2,3) , v = (6,-1)

Rp. S=8u2

10.

u = (5,-A) , v = (-1,-8)

Rp. ¿-.'..íV -

11.

u = (11,-1) , v = (-2,A)

Rp. S=21u2

12.

u = (2,10) , v = (5.-2)

,

Rp. S=27u2

Enlos ejercicios del 13al 15» hallar el área de los

pclígo

nos cuyas coordenadas de sus vértices son:
13.

A(2» 5) , B(7,1) ,C(3,-¿) y D(-2,3)

U . 4(1,5). B(-2,A), C(-3,-1)i D(2,-3) y E(5,1)

Rp.

S=39.5u*

Rp. S=A0u2

V ¿ c to /ie .4

76
15.

A(-5»-2), B(-2,5)• C(2,7), D(5,1) y E(2,-4)

Rp. S=66u2

16. Dados los puntos A(2,-1), B(-2,3) y C (4-* 3 J • Si P(x,y) divide
al segmento BC en la razón BP:PC=-2:5r hallar el área del
triángulo PGB.

Rp. S=10u2

17. Dados los puntos A(-3»-5)* B(3.1) y C(2,5). Si P(x,y) es el
punjto de trisección, más cercano de A, del segmento AB,' cal­
cular el área del triángulo PCB.

Rp. S=10u2

18. Los vórtices de un triángulo son A(3,-1), B(1,k) y C(5>2).
Hallar la ordenada del vórtice B sabiendo que el* área del
triángulo es de 6u2.
Rp, k=2 ó k=-10
19. En la figura:
OABC es un paralelogramo. Si 0B=(1,6)
y AC=(9»-2), hallar el área del trian

A

Rp. S=14-U2

guio ABC.

20. Los vértices de un triángulo son A(3*-5)» B(2,5) y C pertene
ce a L={(x,y)/y=-2x}. Si su área es de 3-5u2, hallar las co. ordenadas del vértice C.

Rp. C(4,-8) ó C(9/4*-9/2)

21. En la figura:
a(A0AB) = 15u2 y ||a||=10. Si í>=(m,n)
hallar el valor de:

3m+n.

Rp, 0

22, Los vértices de un triángulo son A(x,y), B (4-* 3) y C(-2,6).
Si el área del triángulo es de 9u2 y AeL={(x,y)/x-2y=4), ha­
llar las coordenadas del vértice A.
23. En la figura:
a(A0AB)=12u2,